Finden Sie eine explizite Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

würde mich freuen, wenn ihr bei der 3c) und 3d) helfen könntet, damit ich diese Aufgabe abschliessen kann.

Betrachten Sie die Funktion f: R^2 --->R^2 definiert durch f(x,y) = (e^x*siny, e^x*cosy)

a) Entscheiden Sie mit Begründung, ob f injektiv ist und ob f surjektiv ist.

b) Zeigen Sie, dass die Funktion f die Bedingungen des Satzes über die Umkehrfunktion in allen Punkten von R^2 erfüllt.

c) Sei a = (0, \( \frac{pi}{2} \) und U = R x (-\( \frac{pi}{2} \) , \( \frac{pi}{2} \) eine offene Umgebung von a. Sei f|U die Einschränkung von f auf U und V = f|U das Bild von f|U. Finden Sie eine explizite Umkehrfunktion f^-1 |U : V --->U und schliessen Sie daraus, dass f|U : U-->V

bijektiv ist.

d) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen d(f-1 |U) bei f(a) und df(a) und zeigen Sie, dass d( f-1 |U) = (df(a))^-1

Problem/Ansatz:

a) f ist weder injektiv noch surjektiv ( bereits gelöst )

b) f erfüllt die Bedingungen des Satzes über die Umkehrfunktion in allen Punkten von R^2 (bereits gelöst)

c) 

Text erkannt:

C)
\( \begin{array}{l} e^{x} \sin y=A \Rightarrow \sin y=\frac{A}{e^{x}} \Rightarrow y=\arcsin \left(\frac{A}{e^{x}}\right) \\ e^{x} \cos y=B \\ e^{x} \cos \left(\arcsin \frac{A}{e^{x}}\right)=B \Rightarrow e^{x} \sqrt{1-\frac{4^{2}}{e^{2 x}}}=B \quad \mid(0,0)^{2} \\ \Rightarrow e^{2 x}\left(1-\frac{A^{2}}{e^{2 x}}\right)=B^{2} \Rightarrow\left(e^{x}\right)^{2}=A^{2}+B^{2} \\ \Rightarrow x=\ln \left(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\right) \operatorname{Ens} C_{\text {A }} \text { in in } \\ -\Rightarrow y=\arcsin \left(\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right) \\ \mathscr{f}^{n}\left(\begin{array}{l} A \\ B \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} \ln \sqrt{A^{2}+B^{2}} \\ \arcsin \left(\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right. \end{array}\right) \\ \end{array} \)
\( \star \)
curretser.
miro

Mit dieser Lösung von f^-1 bekommt man jedoch die Gleichheit in d) nicht.

Würd mich freuen wenn wir die c) korrigieren könnten...

LG

Answer 1

Ok, Du hast eine Umkehrfunktion hergeleitet. Die Definitionsbereiche erwähnst Du nicht mehr, dabei ist das bei Umkehrfunktionen keine Nebensächlichkeit. Ob Deine Umkehrfunktion zufällig trotzdem passt oder wie man es korrigieren müsste, kann man sagen, wenn man die genaue Aufgabenstellung lesen könnte. Es wäre schon nett, wenn Du die vor dem Posten nochmal gelesen und korrigiert hättest. Derzeit sind die Bedingungen (zumindest für mich) nicht lesbar. So wie es da steht ist U gar keine offene Umgebung von a.

Comments

Sorry. Hätte ich machen sollen.

Text erkannt:

A Screenshot (67)wat-2.0 (fFGB-Farben 8-Bit-Gamma-Ganzzah, GIMP built-in sFGB, 1 Ebene) 926x469 - GIMP
4 =
a
Zuschimediden
Cuschimediben C Nar de aktive Ebene
Abgeschnittene Fixel leschen
Wergreffem zulaseen
Dus der Mitte auf ziehen
Fiviert Seltemerhsitnis \( v \)
926:469
(5)
Pesition:
a 0
0
Grobe:
0
\( p x \)
[5
Abdunkeln-beckeaft 50,0 E
Kaine Arfsinien
Automassch schrumpien
Wereinigurg mitschrumpten
3. Aufgabe: Inverse Funktion
Betrachten Sie die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch \( f(x, y)=\left(e^{x} \sin y, e^{x} \cos y\right) \).
a) Entscheiden Sie mit Begrilndung, ob \( f \) injektiv ist und ob \( f \) surjektiv ist.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) die Bedingungen des Satzes über die Umkehrfunktion in allen Punkten von \( \mathbb{R}^{2} \) erfillt.
c) Sei \( a=\left(0, \frac{\pi}{3}\right) \) und \( \left.U:=\mathbb{R} \times\right]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[\right. \) eine offene Umgebung von a. Sel \( f_{U} \) die Einnschränkung von \( f \) auf \( U \) und \( V=f_{\mid U}(U) \) das Bild von \( f_{\mid V} \). Finden Sie eine explizite Umkehrfunktion \( f_{W}^{-1}: V \rightarrow U \) und schließen Sie daraus, dass \( f_{\mid U}: U \rightarrow V \) bijektiv ist.
d) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen \( \left.d\left(f_{U}^{-1}\right)\right|_{f(a)} \) und \( d f(a) \) und zeigen Sie, dass \( \left.d\left(f_{W}^{-1}\right)\right|_{f(a)}= \) \( (d f(a))^{-1} \) \( (d f(a))^{-1} \)

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Ok, also \(a=(0,\frac\pi3)\), damit \(f(a)=(\frac12\sqrt{3},\frac12)\).

Mit \(U=\R\times (-\frac\pi2,\frac\pi2)\) erhalten wir mit Deiner Umkehrfunktion \(V=\R²\setminus \{(0,0)\}\).

Damit ist \(Df(a)=\begin{pmatrix}\frac12\sqrt{3} & \frac12\\ \frac12 &-\frac12\sqrt{3}\end{pmatrix}\).

Es gilt dann \((Df(a))^{-1}=Df(a)\) (ist zu sich selbst invers).

Für die Umkehrfunktion erhält man dieselbe Matrix, was ja auch zu zeigen war. Ist aber eine lästige Rechnung (hab wolframalpha benutzt). Wenn Du rechnest, benutze \(A²+B²=1\) für unser \(f(a)\).

Einfacher ist es, wenn Du bei \(f^{-1}\) in der zweiten Komponente \(\arctan \frac{A}B\) verwendest. Ist dasselbe wie vorher, aber die Ableitungen sind einfacher. Diese Variante basiert auf der Beobachtung, dass \(\frac{A}B=\tan y\) ist.

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Danke für die schnelle Hilfe. Nur verstehe nicht wo mein Fehler liegt ...

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In deinem c) ist kein Fehler und für d) hast du dich irgendwo verrechnet. Wo genau kann man nur sagen, wenn du deine Rechnung hochlädst. Wie gesagt, ist es mit der arcsin-Variante auch eine mühselige Sache.

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Alles klar! Man kann ja auch arctanx anstatt arcsinx verwenden, haben beide ja den gleichen Wertebereich.

Habe jetzt den hilfreichen Tipp ausgeschrieben.

Text erkannt:

d)
\( \begin{array}{l} f(a)=\left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \\ d f(a)=\left(\begin{array}{cc} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) & \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) & -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right)= \\ d f(a)=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array}\right) \quad(\text { ortho qonale } M) \\ d f^{-1}=\left(\begin{array}{ll} \frac{A}{A^{2}+B^{2}} & \frac{B}{A^{2}+B^{2}} \\ \frac{1}{B+\frac{A^{2}}{B}}-\frac{A}{B^{2}+A^{2}} \end{array}\right)=\left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \end{array} \)
miro

LG

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Ok, dann hat es geklappt, oder ist war da noch ne Frage?

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Hat soweit geklappt. Danke!