Modulo rechnen mit Exponenten, mathematischer Satz gesucht

Question

mir ist beim Vorbereiten auf eine Klausur aufgefallen das Ding wie 7^15 Modulo 100 und jede beliebige andere Zahl die auf 7 endet ^15 Modulo 100 dasselbe Ergebnis ergeben, genau wie zum Beispiel auch 7^85 Modulo 100. Dies gilt scheinbar für alle Primzahlen und trifft immer dann zu, wenn Exponenten und die Zahl mit der man Modulo nimmt die 5 als Teiler haben. Sicher gibt es hierzu einen mathematischen Satz (nicht Euler oder Fermat) und den würde ich gerne wissen.

Answer 1

Ich verstehe dich nicht ganz

7^15 mod 100 = 43

17^15 mod 100 = 93

Also wenn du mod 10 rechnest wär das richtig. So aber nicht. Oder ich habe da etwas missverstanden.

Comments

Du hast recht, scheint ein paar Ausnahmen zu geben bei denen es dann wieder 93 ist aber es scheint auf die beiden hinaus zu laufen, woran liegt das? Alles nur Zufall?

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Nein. Das ist sicher kein Zufall. Wir bilden mal eine zweistellige Zahl hoch 5.

(10·a + b)^5 = 100000·a^5 + 50000·a^4·b + 10000·a^3·b^2 + 1000·a^2·b^3 + 50·a·b^4 + b^5

Interessieren wir uns für die letzten beiden Ziffern der Zahl sind hier nur die letzten zwei Summanden interessant.

50·a·b^4 + b^5

Nehmen wir mal an das a zufällig gerade ist und ich also schreiben kann

50·(2·n)·b^4 + b^5

50·(2·n)·b^4 + b^5 = b^5 + 100·b^4·n

Also dann ergeben sich die letzten zwei Ziffern direkt aus b^5.

Das bemerkenswerte an x^5 ist eigentlich immer das die Zahl genau so endet wie die Zahl x. Die letzten ziffern sind also identisch. Das machen dich Kopfrechenkünstler auch zunutze wenn sie z.B. die 15. Wurzel aus einer Zahl ziehen.