Quadratische Gleichungen x³, x⁴…

Question

Hallo kann mir jemand helfen wie ich solche Aufgaben lösen kann ? Ich schreibe bald ein Test darüber und habe keinen Plan weil ich lange krank war und den Stoff verpasst habe:(

Aufgaben:

1.) x^4 - 5x² + 4 = 0

2.) x³ - x² + 6x = 0

3.) 2x^5 - 26x³ + 72x = 0

Comments

Danke an jeden für eure Hilfe

Answer 1

Hallo,

\(x^4-5x^2+4=0\)

Ersetze x² durch z.

\(z^2-5z+4=0\)

Und löse diese Gleichung z.B. mit der pq-Formel. Vergiss nicht, anschließend deine Ergebnisse für z wieder durch x² zu ersetzen.

[spoiler]

\(z_{1,2}=2,5\pm\sqrt{6,25-4}\\ z_1=1\quad z_2=4\\ x^2=1\quad \Rightarrow x_1=1\quad x_2=-1\\ x^2=4\quad \Rightarrow x_3=2\quad x_4=-2\\ \)

[/spoiler]

\(x^3-x^2+6x=0\)

Klammere x aus und wende den Satz vom Nullprodukt an.

[spoiler]

\(x\cdot (x^2-x+6)=0\rightarrow\\ x=0\quad \vee \quad x^2-x+6=0\)

Wende für die 2. Gleichung wieder die pq-Formel an.

\(x_{2,3}=0,5\pm\sqrt{0,25-6}\)

Keine Lösung, da der Term unter der Wurzel null ist. Also nur eine Nullstelle bei x = 0.

[/spoiler]

\(2x^5-26x^3+72x=0\)

Klammere wieder x aus und gehe dann vor wie bei der ersten Aufgabe. Denke daran, durch 2 zu teilen, bevor du die pq-Formel anwendest.

Gruß, Silvia

Answer 2

1.) x⁴ - 5x² + 4 = 0

Substituiere x²=z, löse eine quadratische Gleichung von z und setze z in x²=z ein, um x zu bestimmen

2.) x³ - x² + 6x = 0 ⇔ x(x²-x+6)=0: Dies Produkt ist Null, wenn ein Faktor 0 ist,

3.) 2x⁵ - 26x³ + 72x = 0 ⇔ 2x(x⁴-13x²+36). Wende jetzt die Erkenntnisse aus 1.) und 2.) an.

Answer 3

direkt mit Vieta:

 1. x4 - 5x² + 4 = 0

(x^2-4)(x^2-1) = 0

x= +-2 v x = +-1

3. 2x^5 - 26x^3 + 72x = 0

2x(x^4-13x^2+36) = 0

2x( x^2 -4)(x^2-9) = 0

x= 0 v x= +-2  v x = +-3

Answer 4

Aloha :)

Diese Terme kannst du faktorisieren und dann den Satz vom Nullprodukt verwenden. Dieser sagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

zu a) Finde zwei Zahlen, deren Summe \((\red{-5})\) und deren Produkt \((\green{+4})\) ist.

Das leisten die beiden Zahlen \(\color{blue}(-4)\) und \(\color{blue}(-1)\).$$x^4\red{-5}x^2\green{+4}={(x^2)}^2\red{-5}x^2\green{+4}=(x^2{\color{blue}-4})(x^2{\color{blue}-1})$$Mit der dritten binomischen Formel kannst du die beiden Klammern weiter faktorisieren:$$x^4\red{-5}x^2\green{+4}=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$$Die Nullstellen sind also \((x=-2)\), \((x=+2)\), \((x=-1)\) und \((x=+1)\).

zu b) Hier kannst du nur \(x\) ausklammern:$$x^3-x^2+6x=x\cdot(x^2-x+6)$$Der Term in der der Klammer ist immer positiv, denn:$$x^2-x+6=\left(x^2-x+\frac14\right)+\frac{23}{4}=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{23}{4}\ge\frac{23}{4}>0$$Daherkann nur der Faktor \(x\) zu Null werden.

Es gibt also eine Nullstelle bei \((x=0)\).

zu c) Finde zwei Zahlen, deren Summe \((\red{-13})\) und deren Produkt \((\green{+36})\) ist.

Das leisten die beiden Zahlen \(\color{blue}(-9)\) und \(\color{blue}(-4)\).$$2x^5-26x^3+72x=2x\left({(x^2)}^2\red{-13}x^2\green{+36}\right)=2x(x^2{\color{blue}-9})(x^2{\color{blue}-4})$$Mit der dritten binomischen Formel kannst du die beiden Klammern weiter faktorisieren:$$2x^5-26x^3+72x=2x(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)$$Die Nullstellen sind also \((x=0)\), \((x=-3)\), \((x=+3)\), \((x=-2)\) und \((x=+2)\).

Answer 5

1.) Ohne Substitution:

\(x^4 - 5x^2+ 4 = 0\)

\(x^4 - 5x^2 = -4\)  → quadratische Ergänzung

\((x^2 - \frac{5}{2})^2= -4+ (\frac{5}{2})^2=-4+2,5^2=2,25    |\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2 - 2,5=1,5    \)

\(x^2 =4      |\sqrt{~~}   \)

\(x_1=2  \)

\(x_2=-2  \)

2.)

\(x^2 - 2,5=-1,5    \)

\(x^2=1   |\sqrt{~~}  \)

\(x_3=1  \)

\(x_4=-1  \)