Wieviele Wörter gibt es mit Länge n+m über {x,y}, wobei n = Anzahl der x's und m= Anzahl der y's darstellen und …

Question

Aufgabe: n und m sind natürliche Zahlen mit m>=2n. Wieviele Wörter gibt es mit Länge n+m über {x,y}, wobei n = Anzahl der x's und m= Anzahl der y's darstellen und zwischen zwei x's mindestens zwei y's stehen?

Problem/Ansatz:

Ich vermute das es sich um ungeordnetes ziehen mit zurücklegen handelt, aber da ich noch nicht sehr viele Wortprobleme gelöst habe, weiß ich nicht wie ich am besten vorgehen könnte, deshalb würde mich ein Rechenweg und/oder eine gute Erklärung sehr freuen.

Vielen Dank!

Comments

Nimm mal ein konkretes Bespiel z.B. n= 3

Vlt. hilft dir das, die Abstraktheit besser in den Griff zu bekommen.

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Nach dem letzten x können noch 0 oder 1 oder mehr als 1 y folgen.
Unterscheide diese drei Fälle und fasse anschließend zusammen : (m-n+2 über n).

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Moin, danke schonmal für eure Antworten. Leider tue ich mich mit dem Thema echt schwer könntet ihr mir das eventuell schrittweise erklären? Vielen Dank nochmal :)

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Warte auf weitere Hilfe von hj2166.

Er kann dir sicher weitere genauere Schritte verraten.

Das Ganze ist schon sehr abstrakt.

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Wenn in einem Wort der Buchstabe x vorkommt, dann kann der nächste kein x sein und der übernächste auch nicht, es muss also ein Block der Form xyy sein, ein solcher Block werde mit z abgekürzt.

Ein Wort, das zum zweiten meiner oben charakterisierten drei Fälle gehört, sieht also folgendermaßen aus :
yy..yy z yy..yy z yy..yy z yy --- yy z yy..yy xy
Hierin kommen die z-Blöcke n-1 mal vor und vor dem letzten x noch m - 2·(n-1) - 1 mal ein y. Vor dem letzten x gibt es also (n-1) + (m-2·(n-1)-1) = m-n Buchstaben y oder z. Die z-Blöcke können daher an (m-n über n-1) Positionen stehen und so viele Wörter der zweiten Sorte gibt es.

Die Überlegungen für den ersten und den dritten Fall verlaufen analog.

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So abstrakt logisch muss man erstmal denken können. Chapeau!

Und Ideen dazu haben. Toll!

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Man kann die 3 Fälle auch in einem Zug erledigen: Nach der "Pflichtbelegung"

$$xyyxyyx \cdots xyyx$$

mit n-mal x und (2n-2)-mal y verbleiben noch (m-2n+2)-mal y zu vergeben. Dafür stehen n+1 Plätze zur Verfügung, die beliebig, auch mehrfach  belegt werden können. Die kombinatorische Formel dafür ist

$${n+1+m-2n+2-1 \choose m-2n+2}={m-n+2 \choose n}$$

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Danke! Habs jetzt endlich verstanden. Habt ihr irgendwelche Tipps wie ich solche Aufgaben am besten üben kann?

Answer 1

Die Aufgabe wurde in den Kommentaren gelöst und ist nicht länger offen.