Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine gezogene Murmel rot ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Murmelbeutel, in welchem 30 Kugeln sind. 12 rote, 8 blaue und 10 grüne. Man zieht 3 mal nach Zufallsprinzip und legt die Murmel anschließend zurück.

Es gibt jeweils Unterfragen, bei einer aber bin ich unsicher:

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine gezogene Murmel rot ist.

Problem:

Der lineare Weg wäre einfach, alle anderen Wahrscheinlichkeiten anhand des Baumdiagrammes auszurechnen und keine rote mit einzuberechnen. Aber, könnte man nicht auch die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechen? (in der Angabe steht man dürfe das nicht und mein Lehrer weiß nicht wieso, er versteht es also nicht). Ein Kollege hat’s ausgerechnet und es kam das richtige Ergebnis raus.

Gibt es da eine Regel ? War es ein Zufall? Ich würde es gerne verstehen und nicht nur rechnen können?

Answer 1

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine gezogene Murmel rot ist.

In dieser Aufgabe ist es ausschließlich von Interesse, ob eine Kugel rot oder nicht rot ist. Daher werden die blauen und grünen Kugeln als nicht rote Kugeln zusammengefasst.

In dem Murmelbeutel befinden sich insgesamt 30 Kugeln, davon sind 12 rot, während 18 Kugeln nicht rot sind bzw. eine andere Farbe tragen.

Wenn jetzt die Wahrscheinlichkeit gefragt wird das keine Kugel rot ist muss beim ersten, zweiten und dritten Zug keine rote Kugel gezogen werden. Das geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit von 18/30 = 3/5 = 0.6

Daher ist die Wahrscheinlichkeit:

P(nicht rot, nicht rot, nicht rot) = (3/5)^3 = 27/125.

Answer 2

\(\displaystyle p= \left(\frac{18}{30}\right)^3 \)

Answer 3

P(X=0) = (18/30)^3 = (3/5)^3 = 0,6^3 = 0,216= 21,6%

oder ausführlich: (3über0)*(12/30)^0*(18/30)^3, Binomialverteilung

Die GegenWKT wäre: mindestens 1 ist rot

Das wäre viel aufwändiger zu rechnen:

P(X=0) = 1- P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)

Rechne das aus und ärgere dich dann über den Mehraufwand! :)

Answer 4

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zug rot zu ziehen ist \( \frac{12}{30} \)=\( \frac{2}{5} \).

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zug nicht rot zu ziehen \( \frac{3}{5} \).

Und das dreimal nacheinander: \( (\frac{3}{5})^{3} \).