Taylorentwicklung - umschreiben in Summenformel

Question

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Ich soll eine Taylorentwicklung machen und schlussendlich als Summenformel angeben. Die Taylorentwicklung habe ich hinbekommen, mein Problem ist das finden der K-Ableitung (das Muster erkennen). Bei anderen Taylorentwicklungen habe ich das hinbekommen, bei dieser leider nicht. Könntet ihr mir erklären, wie man das angeht, ohne das man das einfach stumpf ausprobiert.

Einen Teil der K-Ableitung habe ich bereits gefunden, aber der Zähler ist mir unbekannt.

Die Aufgabenstellung lautet:

Text erkannt:

2 Taylorentwicklung (6 Punkte)
Berechnen Sie für die Funktion
\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2 x}} \)
so viele Terme der Taylorentwicklung um \( x_{*}=0 \) bis Sie das Muster erkennen, und geben Sie dann die gesamte Taylorreihe als Summenformel an.

Ansatz:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(2 x+1)^{\frac{3}{2}}} \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{(2 x+1)^{\frac{5}{2}}} \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{15}{(2 x+1)^{\frac{7}{2}}} \\ f^{k}(x)=(-1)^{k} * \frac{?}{\sqrt{(2 x+1)^{2 k+1}}} \\ T_{3} f\left(x, x_{0}\right)=1-x+\frac{3}{2} x^{2}-\frac{5}{2} x^{3}\end{array} \)

Comments

Tipp: Versuche zunächst die Taylorentwicklung der Funktion \(\displaystyle g(x)=\frac1{\sqrt{1+4x}}\)
und erkenne die mittleren Binomialkoeffizienten \(\displaystyle\binom{2k}k\).

Answer 1

f(x) = 1/√(2·x + 1) = (2·x + 1)^(- 1/2)

f'(x) = 1/√(2·x + 1) = 2·(- 1/2)·(2·x + 1)^(- 3/2)

f''(x) = 1/√(2·x + 1) = 2^2·(- 1/2)·(- 3/2)·(2·x + 1)^(- 5/2)

f'''(x) = 1/√(2·x + 1) = 2^3·(- 1/2)·(- 3/2)·(- 5/2)·(2·x + 1)^(- 7/2)

So sollte doch jeder eine Struktur erkennen, oder nicht?

f⁽ⁿ⁾(x) = (- 0.5)^n·(2·n)!/n!·(2·x + 1)^(0.5 - n)

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe. :)

Die Struktur habe ich erkannt. Leider muss ich gestehen, dass ich, trotz deiner Hilfe, nicht verstehe, wie du auf den Ausdruck mit den Fakultäten kommst.