Welche der Vektorfelder bestitzt ein Potential

Question

Aufgabe:

Besitzen folgende Vektorfelder ein Potential $$\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x\\-y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} e^{-x^2}+e^{-y^2}\\e^{-x^2}+e^{-y^2}\end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Wenn man mit $$rot(f(x)) = \begin{pmatrix} ∂/∂x\\∂/∂y \end{pmatrix} × f(x)= 0 $$rechnet. Dann kommt bei mir überall ein Potential heraus außer bei der letztzen Matrix, was aber nicht stimmen kann. Wo liegt der Fehler?

Answer 1

Das letzte ist (genauso wie anderen) keine Matrix.

Du sagst nicht, warum das nicht stimmen kann. Mit dieser Info kämen wir weiter.

Deine Rechnung stimmt soweit, allerdings ist die Bedingung nur notwendig, nicht hinreichend. Es hängt vom zugrunde liegenden Gebiet ab, auch dazu fehlen hier Angaben. Für \(G=\R²\) jedenfalls ist die Bedingung auch hinreichend, also auf diesem \(G\) sind die ersten drei Potentialfelder, das letzte nicht.

Comments

Sei a ∈ ℝ. Welche der folgenden Vektorfelder F :ℝ² → ℝ² besitzt ein Potential.

$$F(x,y) = \begin{pmatrix} x\\-y \end{pmatrix}$$

$$F(x,y) = \begin{pmatrix} e^{-x^2}+e^{-y^2}\\e^{-x^2}+e^{-y^2} \end{pmatrix}$$

$$F(x,y) = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$

$$F(x,y) = \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$$

Es müssen 0, 1 oder 2 Aussagen richtig sein.

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Ok, also \(G=\R²\), damit ist es genauso wie oben gesagt. Ich weiß nicht, was mit "Aussagen" gemeint ist. Es gibt eine Aussage, die auf jeden Fall richtig ist, und die lautet: "Die ersten drei (Liste in der Originalfrage) haben ein Potential, die vierte nicht."

Merkwürdig ist aber (abgesehen davon, dass da "besitzen", nicht "besitzt", stehen sollte), dass da steht "sei \(a\in\R\)", aber in der Aufgabe ist kein \(a\) zu sehen. Ein Foto der Originalaufgabe würde helfen.

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Text erkannt:

(6) Sei \( a \in \mathbb{R} \). Welche der folgenden Vektorfelder \( \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) besitzen ein Potential?
(a) \( \mathbf{F}(x, y)=\left[\begin{array}{c}x \\ -y\end{array}\right] \)
(b) \( \mathbf{F}(x, y)=\left[\begin{array}{l}e^{-x^{2}}+e^{-y^{2}} \\ e^{-x^{2}}+e^{-y^{2}}\end{array}\right] \)
(c) \( \mathbf{F}(x, y)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] \)
(d) \( \mathbf{F}(x, y)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] \)

Text erkannt:

Bestimmen Sie bei jeder Aufgabe, welche der Aussagen (a), (b), (c), (d) richtig sind. Es können 0, 1 oder 2 der Aussagen richtig sein.

Ich bin gerade dabei, dieses Thema zu lernen und bin dabei über diese Altklausurfrage gestolpert. Wie am Anfang gesagt dachte ich a b und d müssten richtig sein. Jedoch lässt das die Aufgabenstellung nicht zu.

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Ok. Die finale Antwort ist: (a), (c). (d) besitzen ein Potential, (b) nicht.

In diesem Sinne sind halt 3 Aussagen richtig.

Die Sache mit dem "sei \(a\in\R\)" könnte auf einen Tippfehler in der Aufgabe hindeuten.

Merkwürdig formuliert ist das ganze sowieso.