2 Bedingungen für konservative Vektorfelder

Question

Aufgabe:

…

Hallo, was genau muss man denn noch zeigen, damit man die Konservativität beweist?

Text erkannt:

Seien \( v_{1}, v_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die Vektorfelde gegeben durch
\( v_{1}(x, y, z)=\left(2 x y+z^{3}, x^{2}, 3 x z^{2}\right), \quad v_{2}(x, y, z)=\left(e^{y}, x e^{y}, 2 z\right) \)

Text erkannt:

\( 3 a) \)
1. \( \nabla \times \underline{u}_{1}=\left(\begin{array}{c}0-0 \\ 3 z^{2}-3 z^{2} \\ 2 x-2 x\end{array}\right)=\theta \)
2. ?
1. \( \nabla \times \underline{v}_{2}=\left(\begin{array}{cc}0-0 \\ 0-0 \\ e^{y}-e^{y}\end{array}\right)=0 \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Da die Rotation eines Vektorfeldes genau dann verschwindet, wenn das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist, bist du eigentlich fertig. Wenn ihr das noch nicht besprochen habt, kannst du hier zwei mögliche Potentiale sofort hinschreiben:$$\phi_1(\vec r)=x^2y+z^3x\quad;\quad\phi_2(\vec r)=xe^y+z^2$$und davon dann die Gradienten bestimmen:$$\operatorname{grad}\phi_1(\vec r)=\begin{pmatrix}2xy+z^3\\x^2\\3xz^2\end{pmatrix}=\vec v_1(\vec r)\quad;\quad\operatorname{grad}\phi_2(\vec r)=\begin{pmatrix}e^y\\xe^y\\2z\end{pmatrix}=\vec v_2(\vec r)$$

Answer 2

Um auf die Konservativität zu schließen, braucht es eine Bedingung an dss zugrundeliegende Gebiet. Eine einfache ist etwa "Sternörmigket" . Wenn das Gebiet der ganze Raum ist, ist diese Bedingung trivial erfüllt.

Natürlich ist eine gelungene Potentialbestimmung das stärkste Argument.