Konservative Vektorfelder nach Definition

Question

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass zu jedem Potential \( U(x, y, z), \) das die Definition \( \vec{E}=-\operatorname{grad} U \) erfullt, automatisch folgt dass das zugehórige Vektorfeld \( \vec{E}(x, y, z) \) konservativ sein muss.

Also laut meinem Verständnis ist ein Vektorfeld konservativ, wenn die Arbeit die geleistet wird um vom Punkt A nach B zu gelangen unabhängig vom Weg ist.

Das bedeutet mathematisch gesprochen, dass die Rotation des Vektorfeldes verschwinden muss, also:

rot E = 0

also Nabla x E = 0

Um die in der Aufgabenstellung genannte Definition zu erfüllen muss ich zuerst die partiellen Ableitungen des Potentials U bestimmen und diese dann in Form eines Vektorfeldes aufschreiben. Nun rechne ich alles *(-1) und bekomme mein -grad U.

Habe ich das so richtig verstanden und wenn ja, wie hängt es mit der Tatsache zusammen, dass ein Vektorfeld konservativ sein muss wenn das Potential die in der Aufgabenstellung genannte Definition erfüllt?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Das folgt direkt aus dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung:$$\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec E(\vec r)\,d\vec r=-\!\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\!\operatorname{grad}U(\vec r)\,d\vec r=-\!\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\!\frac{\partial U(\vec r)}{\partial\vec r}\,d\vec r=-\!\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}dU(\vec r)=U(\vec r_1)-U(\vec r_2)$$Die Potentialdifferenz zwischen den Punkten \(\vec r_1\) und \(\vec r_2\) ist unabhängig vom gewählten Weg. Daher ist \(\vec E(\vec r)\) ein konservatives Vektorfeld.

Deine Überlegungen sind übrigens völlig ok. Die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet immer. Wenn also die Rotation über ein Vektorfeld verschwindet, gibt es ein Potential für dieses Vektorfeld.

Comments

Vielen Dank!! :)