Deine Überlegung zur Stetigkeit ist richtig, ich schreibe das nur noch mal in der richtigen Reihenfolge auf:
f ist im Nullpukt stetig: Sei \epsilon>0\) gegeben, dann setze \(\delta:=\epsilon/2\). Damit gilt:
$$\forall (x,y) \in \R^2 \setminus \{(0,0)\}: \quad \|(x,y)\|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-0| ... \leq \frac{2 \|(x,y)\|^3}{\|(x,y)\|^2}<2 \delta=\epsilon$$
Dann hast Du gezeigt, dass die partielle Ableitungen im Nullpunkt existieren:
$$\partial_xf(0,0)=1, \qquad \partial_yf(0,0)=-1$$
Wenn f im Nullpunkt differenzierbar wäre, dann gilt für jedes \(v:=(a,b)\):
$$\partial_vf(0,0):=\lim_{s \to 0} \frac{1}{s}(f(sv)-f(0,0))=\partial_xf(0,0)a+\partial_yf(0,0)b=a-b$$
Für \(v=(2,1)\) erhält man für den Grenzwert \(7/5\) (Du hast Dich da verrechnet), aber es sollte 2-1 sein.
Also ist f im Nullpunkt nicht differenzierbar.