Man bildet quasi das Differential mit diesen beiden Richtungen?

Question

Aufgabe:

Hallo

es geht um das zeigen der Nicht-totalen Differenzierbarkeit der Funktion und zwar in 3c). (Siehe Bild)

Kann man so zeigen das f in Richtung von (1,1) und (2,1) nicht diffbar ist. Man bildet quasi das Differential mit diesen beiden Richtungen?

Würde mich freuen, wenn jemand aushelfen könnte!

Text erkannt:

3. Aufgabe: Stetigkeit und Differenzierbarkeit \( \frac{\lim }{m \rightarrow} \frac{\mid \varphi(\bar{h})-f(0)}{\|\bar{n}\|} \) Betrachten Sie \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Standardmetrik und sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion
Entscheiden Sie mit Begründung,
a) Ob \( f \) stetig in \( (0,0) \) ist.
\( (\sqrt{x} \sqrt[0]{1})^{\frac{1}{2}} \)
b) Ob \( f \) partiell differenzierbar in \( (0,0) \) ist.
c) Ob \( f \) total differenzierbar in \( (0,0) \) ist.
d) Ob \( f \) stetig differenzierbar in \( (0,0) \) ist.

LG

Text erkannt:

3a)
\( \begin{aligned} & |p(x, y)-0|<\varepsilon \\ & \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \\ \Rightarrow & \frac{\left|x^{3}-y^{3}\right|}{\left|x^{2}+y^{2}\right|} \leq \frac{|x|^{3}+|y|^{3}}{x^{2}+y^{2}} \leq{\frac{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}}^{3}=2{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}^{\frac{3}{2}-\frac{\beta}{2}} \\ & \Rightarrow \delta=2 \delta=\varepsilon \end{aligned} \)
D)
D)
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(h, 0)}{h}=\frac{\frac{h^{3}}{h^{2}}}{h}=1 \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(0, h)}{h}=\frac{-\frac{h^{3}}{h^{2}}}{h}=-1 \end{array} \)
c) \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{|f(h, h)|}{\sqrt{2} h}=\frac{\overrightarrow{h^{3}-h^{3}}}{\frac{h^{2}+h^{2}}{\sqrt{2} h}}=\frac{0}{\sqrt{2} h}=\frac{0}{2} \)
Prüfen auf andere Richtung und zwar in Richtung \( (2,1) \) und \( (1,1) \)
In Reilenny \( \left(\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right) \) :
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 2 h \\ h \end{array}\right)\right)-0}{h} \)
miro

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{8 h^{3}-h^{3}}{4 h^{2}+h^{2}}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{8-1}{4+1}=\frac{9}{5} \\ \ln R\left(\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}\right) \Rightarrow 0 \text { In Richtung (1,1) ergibt sich 0 } \end{array} \)
miro

Answer 1

Deine Überlegung zur Stetigkeit ist richtig, ich schreibe das nur noch mal in der richtigen Reihenfolge auf:

f ist im Nullpukt stetig: Sei \epsilon>0\) gegeben, dann setze \(\delta:=\epsilon/2\). Damit gilt:

$$\forall (x,y) \in \R^2 \setminus \{(0,0)\}: \quad \|(x,y)\|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-0| ... \leq \frac{2 \|(x,y)\|^3}{\|(x,y)\|^2}<2 \delta=\epsilon$$

Dann hast Du gezeigt, dass die partielle Ableitungen im Nullpunkt existieren:

$$\partial_xf(0,0)=1, \qquad \partial_yf(0,0)=-1$$

Wenn f im Nullpunkt differenzierbar wäre, dann gilt für jedes \(v:=(a,b)\):

$$\partial_vf(0,0):=\lim_{s \to 0} \frac{1}{s}(f(sv)-f(0,0))=\partial_xf(0,0)a+\partial_yf(0,0)b=a-b$$

Für \(v=(2,1)\) erhält man für den Grenzwert \(7/5\) (Du hast Dich da verrechnet), aber es sollte 2-1 sein.

Also ist f im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Comments

Vielen Dank!

Ist eine sicherere Methode einfach zu zeigen, dass die ersten partiellen Ableitungen stetig sind ...

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Es gibt einen Satz: Wenn alle partiellen Ableitungen stetig sind, dann ist f total differenzierbar. Da f nicht diffetenzierbar ist, können nicht alle Part. Ableitungen stetig sein.