Warum konvergiert diese Folge gegen 2?

Question

Aufgabe:

\( \frac{2n²-3}{n²+n+1} \)

Problem/Ansatz:

Warum konvergiert diese Folge gegen 2?

Wenn ich für n=1 einsetze, erhalte ich eine negative Zahl.

Wenn ich für n=4 einsetze, erhalte ich eine positive Zahl.

Ist diese Folge nicht alternierend?

Answer 1

Die Folge konvergiert nicht gegen 2. Vermutlich hast du sie falsch aufgeschrieben. Lautet sie

$$a_n=\frac{2n^2-3}{n^2+n+1}$$

Comments

Danke, du hast Recht!

Könntest du mir bitte erläutern, warum diese Folge konvergent ist?

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$$a_n = \frac{2n^2-3}{n^2+n+1} \newline a_n = \frac{n^2(2-\frac{3}{n^2})}{n^2(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} \newline a_n = \frac{2-\frac{3}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$$

Schau dir jetzt mal den Grenzwert vom Zähler und Nenner getrennt an. Verstehst du jetzt die Konvergenz?

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Wenn ich für n die Zahl 1 einsetze, kommt bei mir in Zähler „-1“ heraus und im Nenner +3.

Ich verstehe es leider noch nicht.

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Du sollst für n ganz, ganz große Zahlen einsetzen. Was passiert wenn die Zahlen für n immer immer größer werden. Nähert sich dann der Zähler und der Nenner einem bestimmten Wert an?

Gegen welchen Wert geht 3/n^2 wenn n gegen unendlich geht?

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3 / 1 = 3 -> 3 / 1²

3 / 4 = 0,75 -> 3 / 2²

Das verwirrt mich eben.

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Du verstehst nicht, was unendlich große Zahlen sind oder ? 1 und 2 gehören mit Sicherheit nicht dazu.

Es geht darum was passiert, wenn die Zahlen immer größer werden

3/1^2 =
3/10^2 =
3/100^2 =
3/1000^2 =
3/10000^2 =
3/100000^2 =

Hast du eine Idee, was passiert, wenn n immer größer wird. Gibt es eine Zahl, an die sich die Ergebnisse immer weiter annähern?

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Danke. Doch ich verstehe was unendlich große Zahlen sind.

Allerdings dachte ich nicht, dass folgendes geht: 1, 0,3, 0,0003 etc. und das dann 2 ergibt.

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Allerdings dachte ich nicht, dass folgendes geht: 1, 0,3, 0,0003 etc.

Das ist ja auch nicht der Fall. Die Folge ist:$$-\frac{1}{3},\space \frac{5}{7},\space \frac{15}{13},\space \frac{29}{21},\space \frac{47}{31}$$und wenn man sich das aufzeichnet sieht es so aus:

https://www.desmos.com/calculator/gqupjml3c8

Die Folge ist streng monoton steigend - d.h. jeder Folgenwert ist größer als sein Vorgänger - und ist daher auch nicht alternierend.

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Danke dir! Jetzt ist es mir klar

Answer 2

Der Grenzwert der Folge ist 2 für n gegen oo, wenn man mit n^2 gekürzt hat.

Alle Terme außer 2n^2 und n^2 gehen gegen 0

(2-0)/(1+0+0) = 2/1 =2

Comments

Tja. Ich vermute, das hat der Fragesteller leider immer noch nicht wirklich kapiert.