Zeigen Sie, dass zu a, c ∈ N und 1 ≤ a ≤ c−1 ein b ∈ N mit 1 ≤ b ≤ c−1 und a+b mod c = 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass zu a, c ∈ N und 1 ≤ a ≤ c−1 ein b ∈ N mit 1 ≤ b ≤ c−1 und a+b mod c = 0
existiert.

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Ansätze:

1) a+b mod c = (a+b) - q*c mit q∈N

nach b umgestellt wäre das b = q*c - a

Jetzt müsste ich aber noch zeigen, dass dieser Ausdruck größer als 1 ist und kleiner als c. Ich wüsste allerdings nicht wie ich das hier machen soll.

2) a+b mod c =  (a mod c + b mod c) mod c

= (a - q*c) + (b - q*c) -q*c

= a + b = 3qc

= b = 3qc - a

Hier kommt ja nochmal was anderes raus und auch hier wüsste ich nicht weiter.

Danke schonmal!

Answer 1

Für a=1 ist b=c-1

Für a=2 ist b=c-2

Für a=3 ist b=c-3

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Comments

und was passiert mit dem q?

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und was passiert mit dem q?

Es ist überflüssig.

Die Verallgemeinerung meiner drei Beispiele lautet: b=c-a.

Wegen a≤c-1 gilt a<c, somit kann b nicht 0 werden, also gilt b≥1

Wegen 1≤a ist b=c-a<c und damit ist auch b≤c-1 erfüllt.

Und dass mit b=c-a auch c=a+b gilt sorgt dafür, dass a+b tatsächlich durch c teilbar ist und somit den Rest 0 mod c hat.