Exponentialrechnung ausrechnen über PKWS

Question

Aufgabe

:In einer Stadt waren im Jahr 2000 ca. 7200 PKW zugelassen, im Jahr 2010 ca. 11700. Wir
nehmen an, dass die Anzahl der PKW exponentiell zunimmt.
a) Zeige, dass die Anzahl pro Jahr um ca. 5 % zunimmt.
b) Modelliere eine Funktion N(t), die die Anzahl der PKW nach t Jahren angibt (ausgehend
vom Jahr 2000).
c) Berechne, wann es nach diesem Modell 18000 PKW in der Stadt geben wird.
Erkläre, ob dieser Wert früher oder später als bei linearer Zunahme erreicht wird.

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) 7200*a^10= 11700

a = (11700/7200)^(1/10) = 1,0497 (Wachstumsfaktor) -> a-1 = 4,97% (= ca 5%) = Wachstumsrate

b) N(t) = 7200*1,05^t

c) 7200*1,05^t = 18000

1,05^t = 18000/7200 = 2,5

t= ln2,5/ln1,05 = 18,78 Jahre (ab 2000), d.h. im Jahr 2019 (aufgerundet), genauer im 10. Monat/Oktober des Jahres 2018

lineares Wachstum:

7200+n*10= 11700

n= 450

7200+450*n = 18000

n= 24, es würde ca 5 Jahre länger dauern.