Gauß; Schnittpunkt, Gerade und Ebene

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie mit dem Gauss-Verfahren den Schnittpunkt \( \vec{r}_{p} \) der Gerade \( g: \vec{r}_{g}=\left(\begin{array}{c}103 \\ 9 \\ 4\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{c}-33 \\ -3 \\ 0\end{array}\right) \)
mit der Ebene \( E: \vec{r}_{E}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -4 \\ -1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Gibt es eine andere Möglichkeit, als in einem Tableau mit s, t und u Spalten zu eliminieren oder die Koordinatenform zu nutzen?

Answer 1

Anstatt das Gleichungssystem in einem Tableau darzustellen kannst du es auch mittels der erweiterten Koeffizientenmatrix darstellen:

        \(\begin{pmatrix}-1 & 1 & 33 & 103-2\\ 2 & -4 & 3 & 9-2\\ -1 & 1 & 0 & 4+3 \end{pmatrix}\)

oder als Vektorgleichung mit Matrix-Vektor-Multiplikation:

        \(\begin{pmatrix}-1 & 1 & 33\\ 2 & -4 & 3\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}s\\ t\\ u \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}103-2\\ 9-2\\ 4+3 \end{pmatrix}\)

oder ganz klassisch indem du die Gleichungen untereinanderschreibst:

        \(\begin{aligned} -s+\phantom{1}t+33u & =103-2\\ 2s-4t+\phantom{0}3u & =9-2\\ -s+\phantom{1}t\phantom{+00u} & =4+3 \end{aligned}\)

Answer 2

HM,

Du kannst die Ebene in Koordinatenform bringen und für x,y,z die Koordinaten der Geraden einsetzen. Wenn Dir die Arbeit die Koordinatenform herzustellen nicht zuviel ist.

Beispiel:

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#material/DbaAvm6r

Answer 3

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 33 & | & 101 \\ 2 & -4 & 3 & | & 7 \\ -2 & -1 & 0 & | & 7 \end{pmatrix} \Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \newline \overrightarrow {r_p} = \begin{pmatrix} 103\\9\\4 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -33\\-3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\0\\4 \end{pmatrix}$$

Comments

Wenn man es ohne Hilfsmittel rechnen soll dann würde ich die Koordinatenform der Ebene bevorzugen. Das ist mit Abstand das schnellste Verfahren.

k*N = [-1, 2, -2] ⨯ [1, -4, -1] = [-10, -3, 2] = - [10, 3, - 2]

E: 10·x + 3·y - 2·z = 32

Dann die Gerade einsetzen

10·(103 - 33u) + 3·(9 - 3u) - 2·(4) = 32 → u = 3

Jetzt den Schnittpunkt wie oben bestimmen.