Trigonometrische Terme vereinfachen

Question

Vereinfachen Sie folgende Terme so weit wie möglich durch Überlegungen am Einheitskreis.

a) cos(α-\( \frac{3π}{2} \))

b) sin(-α-\( \frac{3π}{2} \))

Vielen Dank für die Antwort

Answer 1

Hast du dir mal den Einheitskreis und die Winkel skizziert?

cos(α - 3/2·pi) = - sin(α)

sin(-α - 3/2·pi) = cos(α)

Answer 2

Aloha :)

Die co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man mit ihnen im rechtwinkligen Dreieck zum complementären Winkel übergeht, also zum anderen Nicht-\(90^\circ\)-Winkel:$$\sin(x)=\cos\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\cos(x)=\sin\left(\frac\pi2-x\right)$$

Zusätzlich darf man noch wissen, dass Sinus und Cosinus die Periode \(2\pi\) haben:$$\sin(x\pm2\pi)=\sin(x)\quad;\quad \cos(x\pm2\pi)=\cos(x)$$

und dass der Sinus ungerade und die Cosinus gerade ist:$$\sin(-x)=-\sin(x)\quad;\quad\cos(-x)=\cos(x)$$

Damit kannst du leicht überprüfen, dass:

$$\cos\left(\pink{\alpha-\frac{3\pi}{2}}\right)=\sin\left(\frac\pi2-\left(\pink{\alpha-\frac{3\pi}{2}}\right)\right)=\sin(2\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$$

$$\sin\left(\pink{-\alpha-\frac{3\pi}{2}}\right)=\cos\left(\frac\pi2-\left(\pink{-\alpha-\frac{3\pi}{2}}\right)\right)=\cos(2\pi+\alpha)=\cos(\alpha)$$