Nach wieviel Stunden vervierfacht sich der Bestand?

Question

Aufgabe:

In einer Käseverpackung befinden sich zum Zeitpunkt der Verpackung 66  Tsd. Bakterien. 10  Stunden später sind es schon 521 Tsd. Es wird vorausgesetzt, dass die relative Wachstumsrate der Bakterien konstant ist.

Problem/Ansatz:

Nach wieviel Stunden vervierfacht sich der Bestand?

Answer 1

66*a^10 = 521

a = (521/66)^(1/10)

a= 1,23  d,h. ca 23% pro Stunde (Wachstumsrate)

1,23^t = 4

t= ln4/ln1,23 = 6,7 Stunden

Answer 2

Wenn es am Anfang \(b_1\) Bakterien sind und nach \(t_1\) Stunden \(b_2\) Bakterien sind, dann ist der stündliche Wachstumsfaktor

        \(q = \left(\frac{b_2}{b_1}\right)^{\frac{1}{t_1}}\).

Um den Zeitraum zu finden, in dem sich die Anzahl der Bakterien vervierfacht, löst man die Gleichung

        \(q^t = 4\).

Lösung ist

        \(t = \frac{\ln 4}{\ln q}\)

also

        \(t = \frac{\ln 4}{\ln b_2 - \ln b_1}t_1\)