Wahrscheinlichkeit, Standardabweichung, Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Der Erwartungswert für die Spannung in einem eingeschalteten Spotlight für eine
Wandbeleuchtung beträgt 230 V und die Standardabweichung beträgt 8 V.
1) Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass die Spannung in einem eingeschalteten Spotlight außerhalb des Toleranzbereichs von μ ± 3σ liegt.
2) Es wäre wünschenswert, wenn nur in 0,01 % der Messungen eine Spannung von mehr als 255 V vorliegt. Gib die Standardabweichung an, die bei gleich bleibendem Erwartungswert dafür benötigt wird.

Problem/Ansatz:

Kann mir das bitte jemand erklären mit Rechenweg? Danke im Voraus!

Answer 1

Leider schreibst du nicht, wo genau die Schwierigkeiten liegen

a) 1 - (NORMAL(3) - NORMAL(-3)) = 0.002700 = 0.2700 %

b) 1 - NORMAL((255 - 230)/σ) = 0.0001 → σ = 6.722 V

Meist ist es nur einsetzen in die Formel der Normalverteilung und ausrechnen oder zur Unbekannten auflösen.

Answer 2

Sei \(\Phi\) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Die Standardnormalverteilung hat Erwartungswert \(0\) und Standardabweichung \(1\).

Ist die Zufallsgröße \(X\) normalverteilt mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\), dann ist

        \(P(X\leq x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\)

für jede reelle Zahl \(x\).

1) Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(-3) + (1-\Phi(3))\).

Der erste Summand ist die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung nach unten. Der zweite Summand ist die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung nach oben.

2) Löse die Gleichung

        \(1 - \Phi\left(\frac{255-230}{\sigma}\right) = 0,01\%\)

Die Werte von \(\Phi\) bekommst du aus einer Standardnormalverteilungstabelle. Eventuell stellt auch dein Taschenrechner diese Funktion bereit.