Ist 1/x injektiv und nicht aber surjektiv?

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie den Graphen von einer Funktion f von ℝ nach ℝ, die injektiv, nicht aber surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, dass laut der Definition "∀y∈Y ∃x∈X : f(x) = y" f(x) = \( \frac{1}{x} \) nicht surjektiv aber injektiv wäre, also weil die Zielmenge ja alle reellen Zahlen sind, aber y=0 für kein x∈ℝ erreicht werden kann. Und es gibt keine zwei Werte für x die das gleiche f(x) haben, also ist es injektiv. Ich bin sehr verwirrt gerade, und bin mir nicht sicher ob das so stimmt.

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Funktion f von ℝ nach ℝ, die injektiv, nicht aber surjektiv ist.

x ↦ 1/x  ist keine Funktionsvorschrift für f: ℝ → ℝ

Für f:ℝ\{0} → ℝ  träfen deine Überlegungen zu.

Eine richtige Antwort wäre z.B.

f: ℝ → ℝ

    f(x)  =  x+1   für x>0

                1/2   für x=0

               x-1   für x<0

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Es tut mir leid wenn das dumm klingen sollte, ich verstehe aber nicht, warum es für ℝ\{0}→ℝ, nicht aber für ℝ→ℝ gelten soll. Und ich verstehe auch nicht, wie Sie auf doe anderen Funktionen, z.B. f(x)=x+1 gekommen sind. Das wäre ja surjektiv und injektiv, da es für jedes y ein x gibt und zwei Werte für x nie das gleiche y ergeben können.

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Das wäre ja surjektiv

nein, denn z.B. 3/4 aus der Zielmenge ℝ hätte kein Urbild in der Definitionsmenge ℝ

Answer 1

Definitionsbereich der Funktion mit der Funktionsgleichung

        \(f(x) = \frac{1}{x}\)

kann nicht \(\mathbb{R}\) sein, weil \(0\in \mathbb{R}\) ist und \(\frac{1}{0}\) nicht definiert ist.

Deshalb kann diese Funktion keine Funktion von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) sein, die injektiv, nicht aber surjektiv ist.

Skizzieren Sie den Graphen von einer Funktion

Insbesondere ist nicht gefordert, dass du eine Funktiongleichung angibst.

Comments

Okay, vielen Dank, jetzt verstehe ich warum \( \frac{1}{x} \) nicht funktioniert. Ich weiß, dass nur skizzieren gefordert ist, aber ich verstehe es leichter wenn ich es nachrechnen kann. Funktioniert f(x)=\( e^{x} \)? Jeder x Wert sollte ja immer einen anderen y Wert ergeben und da \( e^{x} \) nie 0 wird sollte es ja selbst bei negativem Exponenten immer definiert sein, da dann ja nie durch 0 geteilt werden würde.