Ist 1/x injektiv und nicht aber surjektiv?

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie den Graphen von einer Funktion f von ℝ nach ℝ, die injektiv, nicht aber surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, dass laut der Definition "∀y∈Y ∃x∈X : f(x) = y" f(x) = $\frac{1}{x}$ nicht surjektiv aber injektiv wäre, also weil die Zielmenge ja alle reellen Zahlen sind, aber y=0 für kein x∈ℝ erreicht werden kann. Und es gibt keine zwei Werte für x die das gleiche f(x) haben, also ist es injektiv. Ich bin sehr verwirrt gerade, und bin mir nicht sicher ob das so stimmt.

Comments

Funktion f von ℝ nach ℝ, die injektiv, nicht aber surjektiv ist.

x ↦ 1/x  ist keine Funktionsvorschrift für f: ℝ → ℝ

Für f:ℝ\{0} → ℝ  träfen deine Überlegungen zu.

Eine richtige Antwort wäre z.B.

f: ℝ → ℝ

    f(x)  =  x+1   für x>0

                1/2   für x=0

               x-1   für x<0

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Es tut mir leid wenn das dumm klingen sollte, ich verstehe aber nicht, warum es für ℝ\{0}→ℝ, nicht aber für ℝ→ℝ gelten soll. Und ich verstehe auch nicht, wie Sie auf doe anderen Funktionen, z.B. f(x)=x+1 gekommen sind. Das wäre ja surjektiv und injektiv, da es für jedes y ein x gibt und zwei Werte für x nie das gleiche y ergeben können.

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Das wäre ja surjektiv

nein, denn z.B. 3/4 aus der Zielmenge ℝ hätte kein Urbild in der Definitionsmenge ℝ

Answer 1

Definitionsbereich der Funktion mit der Funktionsgleichung

        $f(x) = \frac{1}{x}$

kann nicht $\mathbb{R}$ sein, weil $0\in \mathbb{R}$ ist und $\frac{1}{0}$ nicht definiert ist.

Deshalb kann diese Funktion keine Funktion von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ sein, die injektiv, nicht aber surjektiv ist.

Skizzieren Sie den Graphen von einer Funktion

Insbesondere ist nicht gefordert, dass du eine Funktiongleichung angibst.

Comments

Okay, vielen Dank, jetzt verstehe ich warum $\frac{1}{x}$ nicht funktioniert. Ich weiß, dass nur skizzieren gefordert ist, aber ich verstehe es leichter wenn ich es nachrechnen kann. Funktioniert f(x)=$e^{x}$? Jeder x Wert sollte ja immer einen anderen y Wert ergeben und da $e^{x}$ nie 0 wird sollte es ja selbst bei negativem Exponenten immer definiert sein, da dann ja nie durch 0 geteilt werden würde.