Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Kurve f im Punkt P :

Question

Text erkannt:

D9. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Kurve \( f \) im Punkt \( P \) :
(a) \( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1} \sqrt{x_{2}^{2}-x_{1}}, \quad P=(8,3) \)
(b) \( f(x, y)=e^{2 x y+6 y}, \quad P=(-3,1) \)
(c) \( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln \left(a x_{1}-b x_{2}+1\right), \quad P=(b, a) \in D \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei C) helfen?

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tantentialebene an die Kurve \(f(x;y)\) im Punkt \((x_0;y_0)\) lautet:$$t_{(x_0;y_0)}(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$

Hier ist \((x_0;y_0)=(b;a)\) und wir erhalten:$$f(x_0;y_0)=f(b;a)=\ln(a\cdot b-b\cdot a+1)=\ln(1)=0$$$$\operatorname{grad}f(x_0;y_0)=\binom{\frac{a}{ax_1-bx_2+1}}{\frac{-b}{ax_1-bx_2+1}}=\binom{\frac{a}{ab-ba+1}}{\frac{-b}{ab-ba+1}}=\binom{a}{-b}$$

Das setzen wir in die allgemeine Ebenengleichung ein:$$t_{(b;a)}(x;y)=0+\binom{a}{-b}\cdot\binom{x-b}{y-a}=a(x-b)-b(y-a)=ax-by$$