Begründe, warum die folgenden Gleichungen gelten.

Question

Aufgabe:

Raute und Diagonalschnittpunkt

Text erkannt:

1)
Eine Raute $A B C D$ hat den Diagonalenschnittpunkt $M$.
Begründe, warum die folgenden Gleichungen gelten.
1) $2 \cdot C-\overrightarrow{A C}=2 \cdot M$
2) $A+B+C+D=4 \cdot M$
3) $A-B+C-D=D-C+B-A$
4) $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{B D}=4 \cdot \overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C B}$
5) $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D})=0$

Answer 1

Du darfst die gegebenen Ausdrücke natürlich auch umformen, um es zu begründen.

2·C - AC = 2·M
2·C - 2·M = AC
2·(C - M) = AC
2·MC = AC
MC = 1/2·AC

In einem Parallelogramm halbierenden die Diagonalen einander.

Welche schaffst du jetzt alleine und wo bräuchtest du noch Hilfe?

Comments

Bitte noch um Hilfe/Ergänzung: DANKE!
Wie ist der Nachweis für:

2:)  A+B+C+D=4 M?
Frage:

Ist bei 3.) die Antwort, dass das Ergebnis Null ist, da sich alles aufhebt?

3)  A-B+C-D=D-C+B-A

Wie ist das Nachweis/die Begründung bei 4.) und 5.)?

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2)

A + B + C + D = 4·M

M = 1/4·(A + B + C + D)

M ist Schwerpunkt des Parallelogramms und damit das arithmetische Mittel der Eckpunkte.

3)

Richtig

AB = DC
B - A = C - D
B - A + D - C = 0

4)

Pythagoras

|AC|² + |BD|² = 4·|BC|²
e² + f² = 4·a²
(e²)² + (f/2)² = a²

5)

(AB + BC)·(BC + CD) = 0
AC·BD = 0

Das Skalarprodukt ist null, weil die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

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Was soll C bedeuten?

Seltsame Schreibweise im Kontext.

Answer 2

Zu 1) C ist ein Punkt. Dann ist 2·C ein Punkt mit den doppelten Koordinatenwerten. Aber wie subtrahiert man einen Vektor $\vec{AC}$ von einem Punkt?

Zu 5) $\vec{AB}$+$\vec{BC}$ ist eine Diagonale der Raute. $\vec{BC}$+$\vec{CD}$ ist die andere Diagonale der Raute. In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander,