Begründe, warum die folgenden Gleichungen gelten.

Question

Aufgabe:

Raute und Diagonalschnittpunkt

Text erkannt:

1)
Eine Raute \( A B C D \) hat den Diagonalenschnittpunkt \( M \).
Begründe, warum die folgenden Gleichungen gelten.
1) \( 2 \cdot C-\overrightarrow{A C}=2 \cdot M \)
2) \( A+B+C+D=4 \cdot M \)
3) \( A-B+C-D=D-C+B-A \)
4) \( \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{B D}=4 \cdot \overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C B} \)
5) \( (\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D})=0 \)

Answer 1

Du darfst die gegebenen Ausdrücke natürlich auch umformen, um es zu begründen.

2·C - AC = 2·M
2·C - 2·M = AC
2·(C - M) = AC
2·MC = AC
MC = 1/2·AC

In einem Parallelogramm halbierenden die Diagonalen einander.

Welche schaffst du jetzt alleine und wo bräuchtest du noch Hilfe?

Comments

Bitte noch um Hilfe/Ergänzung: DANKE!
Wie ist der Nachweis für:

2:)  A+B+C+D=4 M?
Frage:

Ist bei 3.) die Antwort, dass das Ergebnis Null ist, da sich alles aufhebt?

3)  A-B+C-D=D-C+B-A

Wie ist das Nachweis/die Begründung bei 4.) und 5.)?

---

2)

A + B + C + D = 4·M

M = 1/4·(A + B + C + D)

M ist Schwerpunkt des Parallelogramms und damit das arithmetische Mittel der Eckpunkte.

3)

Richtig

AB = DC
B - A = C - D
B - A + D - C = 0

4)

Pythagoras

|AC|^2 + |BD|^2 = 4·|BC|^2
e^2 + f^2 = 4·a^2
(e^2)^2 + (f/2)^2 = a^2

5)

(AB + BC)·(BC + CD) = 0
AC·BD = 0

Das Skalarprodukt ist null, weil die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

---

Was soll C bedeuten?

Seltsame Schreibweise im Kontext.

Answer 2

Zu 1) C ist ein Punkt. Dann ist 2·C ein Punkt mit den doppelten Koordinatenwerten. Aber wie subtrahiert man einen Vektor \( \vec{AC} \) von einem Punkt?

Zu 5) \( \vec{AB} \)+\( \vec{BC} \) ist eine Diagonale der Raute. \( \vec{BC} \)+\( \vec{CD} \) ist die andere Diagonale der Raute. In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander,