Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für Eigenwerte

Question

Aufgabe ein Eigenwert des Endomorphismus \( \phi: V \rightarrow V \), wobei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ist.
(i) \( r \lambda \) ist Eigenwert von \( r \phi \) für \( r \in \mathbb{R} \).
(ii) \( \lambda^{k} \) ist Eigenwert von \( \phi^{k} \) für \( k \in \mathbb{N} \) (Beweis durch Induktion).
(iii) \( \frac{1}{\lambda} \) ist Eigenwert von \( \phi^{-1} \), falls \( \phi \) bijektiv ist.
(iv) \( B:=A^{T} \).
Sei \( V=\mathbb{R}^{n} \), und sei \( \phi=T_{A} \) mit \( A \in M_{n}(\mathbb{R}) \). Dann ist \( \lambda \) Eigenwert von \( T_{B} \) mit \( B:=A^{T} \).

Answer 1

Benutze die Definition

\(  \lambda \) ist Eigenwert von \( \phi\) <=> 

Es gibt ein \( v \in V \setminus \{0\} \)mit \( \phi(v)=\lambda \cdot v\)

z.B. bei (i): Wenn dies erfüllt ist, gilt für jedes \( r \in \mathbb{R} \)

\( r \phi (v) = r \cdot \phi(v) = r \cdot (\lambda \cdot v) = ( r \cdot \lambda )\cdot v\)

Also ist v ein Eigenvektor von\( r \phi \) zum Eigenwet \( r \lambda \). q.e.d.