Aufgabe:
Sei \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung gegeben durch
\( \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x+y \\ y+2 z \\ x+z \end{array}\right) \)
sowie \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) und \( \mathcal{C}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) \) Basen von \( \mathbb{R}^{3} \), wobei
\( b_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), c_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), c_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) . \)
Des weiteren sei \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \).
(i) Geben Sie die Dartstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \) an und begründen Sie, dass \( T \) bijektiv ist.
(ii) bezüglich \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \).
Bestimmen Sie die Übergangsmatrix \( \mathcal{U}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}:=\left[\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{C} \).
