Beweise der Rechenregeln für Eigenwerte

Question

Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für Eigenwerte. Sei dabei \( \lambda \in \mathbb{R} \) ein Eigenwert des Endomorphismus \( \phi: V \rightarrow V \), wobei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ist.

(i) \( r \lambda \) ist Eigenwert von \( r \phi \) für \( r \in \mathbb{R} \).
(ii) \( \lambda^{k} \) ist Eigenwert von \( \phi^{k} \) für \( k \in \mathbb{N} \) (Beweis durch Induktion).
(iii) \( \frac{1}{\lambda} \) ist Eigenwert von \( \phi^{-1} \), falls \( \phi \) bijektiv ist.

Ich verstehe nicht ganz wie ich das beweisen soll, wenn mir jemand Ansätze geben könnte würde ich das gerne mal probieren.

Answer 1

Sei dabei \( \lambda \in \mathbb{R} \) ein Eigenwert des Endomorphismus \( \phi: V \rightarrow V \)

Dann weißt du ja:   Es gibt ein v∈V\{0} mit Φ(v)=λv.

Sei nun r∈ℝ.  Ddann gilt

Φ(rv)=    rΦ(v)    ( wegen End)

     =  r(λv)    (wegen Eigenwert λ )

        = ( rλ)v  ( VR-Axiom) 

Also ist v ein Eigenvektor von rΦ zum Eigenwert  rλ;

denn es gilt ja   rΦ(v)  =  ( rλ)v .

(ii) und (iii) entsprechend.

Comments

Danke, ich versuche mich mal an den anderen.

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Wenn λ ein Eigenwert von Φ ist, dann ist rλ für jedes r ∈ ℝ ebenfalls ein solcher?
Hier scheint wohl einiges durcheinander geraten zu sein.

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Da fehlte ein r. Hab ich korrigiert.

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welches Axiom wird da verwendet?

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Bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

ist es S3.

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Hmm, habs mir jetzt angesehen aber es ist schon schwer zu verstehen, bzw. es ist komisch

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Es geht doch nur darum, dass gilt

r(λv)         = ( rλ)v

Und das sagt doch genau S3.