Punkt im Inneren eines Dreiecks

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich die Lage des Punktes M in einem nicht stumpfwinkligen Dreieck, das durch die Punkte A, B und C aufgespannt wird, wenn sich die Verbindungslinien MA, MB und MC jeweils unter 120° untereinander schneiden?

Von Punkt M aus gesehen, haben die Punkte A, B und C jeweils den gleichen Winkelabstand.

Answer 1

Über den Seiten AB, BC und AC werden jeweils nach außen gleichseitige Dreiecke errichtet und von jedem dieser Dreiecke der Umkreis konstruiert. Die drei Umkreise schneiden sich in M.

Hintergrund: Die drei Punkte jedes gleichseitigen Dreiecks und der Punkt M bilden ein Sehnenviereck. Da sich im Sehnenviereck gegenüberliegende Windel zu 180° ergänzen, entstehen gegenüber den äußeren 60°-Winkeln 120°-Winkel.

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wie berechne ich ...

Das, was Du als Punkt $M$ bezeichnest, ist der sogenannte Fermat Punkt. Die Konstruktion hat Dir abakus ja bereits gezeigt. Die Berechnung dieses Punktes kann über die baryzentrischen Koordinaten des Fermat Punkts geschehen.

Es seien $P_{1,2,3} = A,B,C$ die Eckpunkte und $s_1 = \vec{a} = C-B$, $s_2=\vec{b} = A-C$ und $s_3=\vec{c}=B-A$ die Seitenvektoren des Dreiecks. Dann sind die baryzentrische Koordinaten $(b_1:b_2:b_3)$ des Fermat Punktes$$b_k =\frac{|s_k|}{\sin\left(\arccos\left(\cos\angle\left(-s_{k-1},s_{k+1}\right)\right)+\frac{\pi}{3}\right)}$$wobei die Funktion $\cos\angle$ hier definiert ist als$$\cos\angle(u,v) = \frac{\left<u,\,v\right>}{|u| \cdot |v|}$$und den Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren $u$ und $v$ berechnet. Die Ausdrücke $k-1$ und $k+1$ sind als Vorgänger- und Nachfolger-Index zu verstehen$$(k=3) + 1 \equiv 1, \quad\quad (k=1) - 1 \equiv 3$$Der Fermat Punkt $M$ (alias $F$) ist dann $$M = \frac{\sum\limits_{k=1}^3 P_k \cdot b_k}{\sum\limits_{k=1}^{3} b_k}$$Das ganze in Desmos gegossen sieht so aus:

Die Eckpunkte des grünen Dreiecks lassen sich mit der Maus verschieben.

Gruß Werner

Comments

Super. Vielen Dank.

Theoretisch hätte ich das finden können, wenn ich statt nach "besonderen Punkten" nach "ausgezeichneten Punkten" im Dreieck gesucht hätte. In der Kürze der mir verfügbaren Zeit hat meine Recherchefantasie nicht gereicht.

Aber jetzt habe ich den theoretischen Hintergrund für meinen Apparat.