Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
Wie berechne ich ...
Das, was Du als Punkt \(M\) bezeichnest, ist der sogenannte Fermat Punkt. Die Konstruktion hat Dir abakus ja bereits gezeigt. Die Berechnung dieses Punktes kann über die baryzentrischen Koordinaten des Fermat Punkts geschehen.
Es seien \(P_{1,2,3} = A,B,C\) die Eckpunkte und \(s_1 = \vec{a} = C-B\), \(s_2=\vec{b} = A-C\) und \(s_3=\vec{c}=B-A\) die Seitenvektoren des Dreiecks. Dann sind die baryzentrische Koordinaten \((b_1:b_2:b_3)\) des Fermat Punktes$$b_k =\frac{|s_k|}{\sin\left(\arccos\left(\cos\angle\left(-s_{k-1},s_{k+1}\right)\right)+\frac{\pi}{3}\right)}$$wobei die Funktion \(\cos\angle\) hier definiert ist als$$\cos\angle(u,v) = \frac{\left<u,\,v\right>}{|u| \cdot |v|}$$und den Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren \(u\) und \(v\) berechnet. Die Ausdrücke \(k-1\) und \(k+1\) sind als Vorgänger- und Nachfolger-Index zu verstehen$$(k=3) + 1 \equiv 1, \quad\quad (k=1) - 1 \equiv 3$$Der Fermat Punkt \(M\) (alias \(F\)) ist dann $$M = \frac{\sum\limits_{k=1}^3 P_k \cdot b_k}{\sum\limits_{k=1}^{3} b_k}$$Das ganze in Desmos gegossen sieht so aus:
https://www.desmos.com/calculator/crl2kzkn2e
Die Eckpunkte des grünen Dreiecks lassen sich mit der Maus verschieben.
Gruß Werner
