Bestimmen Sie a 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie a > 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche
den angegebenen Inhalt A hat.

C) f(x)=x^2+1

   g(x)=(a^2+1)*x^2

   A=4/3

Problem/Ansatz: ich komme leider nicht weiter.

Ich bedanke mich für jede Hilfe !!

Text erkannt:

(6)
\( \begin{array}{l} f(x)=x^{2}+1 \\ g(x)=\left(a^{2}+1\right) \cdot x^{2}=a^{2} x^{2}+x^{2} \\ A=\frac{4}{3} \end{array} \)
Differenzfunktion:
\( \begin{aligned} h(x) & =f(x)-g(x) \\ & =x^{2}+1-\left(a^{2} \cdot x^{2}+x^{2}\right) \\ & =x^{2}+1-a^{2} \cdot x^{2}-x^{2} \\ & =1-a^{2} \cdot x^{2} \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} n(x)=0 \\ 1-a^{2} \cdot x^{2}=0 \quad 1+a^{2} \cdot x^{2} \\ 1=a^{2} \cdot x^{2} \quad \mid: a^{2} \\ \frac{1}{a^{2}}=x^{2} \quad \mid-\sqrt{-\sqrt{a^{-2}}}=x_{1} \\ -\sqrt{a^{2}}=x_{2} \end{array} \)
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{\sqrt{a^{-2}}}\left(1-a^{2} \cdot x^{2}\right) d x=\frac{2}{3} & {\left[1 x-\frac{1}{3} \cdot a^{2} x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{a^{2}}} } \\ \frac{2}{3} & =1 \cdot \sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a^{3} \\ \frac{2}{3} & =\sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} a^{5} \end{aligned} \)

Answer 1

Bedenke  √(a^-2) = a^-1 = 1/a

Da komme ich bei dem Integral auf 2/(3a) , also a=1.

Korrektur deines Ansatzes:

\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{\sqrt{a^{-2}}}\left(1-a^{2} \cdot x^{2}\right) d x=\frac{2}{3} & {\left[1 x-\frac{1}{3} \cdot a^{2} x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{a^{-2}}} } \\ \frac{2}{3} & =1 \cdot \sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a^{-3} \\ \frac{2}{3} & =\sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} a^{-1} \end{aligned} \)

Also \(  \frac{2}{3}  =\sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} a^{-1} =   \frac{1}{a} -\frac{1}{3a}=\frac{2}{3a}\)

Answer 2

Hallo,

dein Fehler ist in der vorletzten Zeile.

\( \begin{array}{l}\frac{2}{3}=\sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} a^{2} \sqrt{a^{-2}}{ }^{3} \\ \frac{2}{3}=\sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} a^{2} \cdot a^{-2} \cdot \sqrt{a^{-2}} \\ \frac{2}{3}=\sqrt{a^{-2}}-\frac{1}{3} \sqrt{a^{-2}} \\ \frac{2}{3}=\frac{2}{3} \sqrt{a^{-2}} \\ 1=\sqrt{a^{-2}} \\ 1=a^{-2}\end{array} \)

Also a = 1 oder -1.

Gruß, Silvia