Äquivalenz der Bedingungen einer Familie von Vektoren beweisen

Question

Für eine Familie \( (v_i)_{i \in I} \) von Vektoren eines K-Vektorraumes sind folgende Bedingungen äquivalent:

1) \( (v_i) \) ist linaer unabhängig,

2) Jeder Vektor \( v \in span(v_i) \) lässt sich in eindeutiger Weise aus Vektoren der Famlie \( v_i \) lineaer kombinieren.

Beweis 1) \( \Rightarrow \) 2): Sei  ein \( v \in span (v_i) \) auf zwei Arten lineaer kombiniert, also

\( v = \sum_{i\in I} \lambda_i v_i = \sum_{i \in I} \mu_i v_i \), wobei in beiden Summen jeweils nur endlich viele Skalare \( \lambda_i \) und \(\mu_i\) von Null verschieden sind. ...

Meine Frage heir, warum sind nur endliche viele dieser Skalare von null verschieden? Wenn \(v \) endlich viele Summanden hätte, dann würde es klar sein, aber \( v \) muss doch nicht unbedingt endlich viele Sumannen haben da \( I\) unendlich sein kann oder?

Answer 1

Wären unendlich viele der Skalare von Null verschieden, so hätten wir hier keine Summe sondern eine Reihe. Damit eine Reihe definiert ist, bräuchte es irgendeine Art von Konvergenz auf dem Vektorraum. Nicht auf jedem Vektorraum lässt sich eine Konvergenz sinnvoll bzw. in vertrauter Weise definieren. Die mathematische Struktur "Vektorraum" kennt keine Konvergenz. Daher kommen in sämtlichen Definitionen für Vektorräume nur Summen keine Reihen vor. Die Antwort auf die Frage ist also schlußendlich: Nach Definition.

Comments

Deine Antwort habe ich leider nicht ganz verstanen. Ich betrachte ein Vektorraum V = {f: M ->K} = Abb(M,K), dabei ist K ein Körper und M eine belibige Menge d.h. M und K können unendliche Mengen sein und somit hat mein Vektorraum unendlich veie Elemente. Jetzt bilde ich mir ein I das wieder unendlich ist. Somit ist mein span(v_i) auch unendlich. Anschliessend kann ich ein v linear kombinieren aus unendlich vielen Summanden - was spricht dagegen?