Ordnungsrelation heißt doch wohl:
Sie muss transitiv sein. Das ist bei (i) der Fall;
denn
\((m,n) \preceq_{R_1}(m',n')\) und \((m',n') \preceq_{R_1}(m'',n'')\)
==> m≤m' und m'≤m''
Also auch m≤m'' (Da ≤ eine Ord.rel. auf ℕ ist.)
und damit \((m,n) \preceq_{R_1}(m'',n'')\).
Strikt ist die nicht, da z.B. \((1,2) \preceq_{R_1}(1,5)\) und \((1,5) \preceq_{R_1}(1,2)\).
Wenn "total" nur heißt, dass je zwei Elemente vergleichbar sein müssen,
dann ist dem so. Bei Wikipedia lese ich, dass Totalordnungen auch
antisymmetrisch sein müssen, das ist hier nicht der Fall wie
das obige Beispiel zeigt.
(ii) Ordnung ist hier ähnlich zu beweisen wie oben.
strikt ist die auch nicht, da reflexiv , total aber nicht, da z.B.
weder \((3,2) \preceq_{R_1}(1,5)\) noch \((1,5) \preceq_{R_1}(3,2)\) gilt.