Überprüfung von zwei Realtionen auf (strikte) Ordnung / totale Ordnung

Question

Aufgabe:

$$\text{Überprüfen Sie folgende zwei Realtionen auf }\mathbb{N}\times\mathbb{N}\text{ darauf, ob Sie (strikte) Ordnungen sind:}\\\text{(i) }(m,n) \preceq_{R_1}(m',n'),\text{ wenn }m \leq m' \text{ ist.}\\\text{(ii) }(m,n) \preceq_{R_2}(m',n'),\text{ wenn }m \leq m' \text{ und }n' \leq n \text{ gelten.}\\\text{Ist eine dieser Relationen sogar eine totale Ordnung?}$$

Ich weiß leider nicht, wie man diese Aufgabe lösen soll. Beziehungsweise verstehe sie nicht so ganz.

Answer 1

Ordnungsrelation heißt doch wohl:

Sie muss transitiv sein. Das ist bei (i) der Fall;

denn

\((m,n) \preceq_{R_1}(m',n')\) und  \((m',n') \preceq_{R_1}(m'',n'')\)

==>   m≤m' und m'≤m''

Also auch m≤m''   (Da ≤ eine Ord.rel. auf ℕ ist.)

und damit  \((m,n) \preceq_{R_1}(m'',n'')\).

Strikt ist die nicht, da z.B. \((1,2) \preceq_{R_1}(1,5)\) und \((1,5) \preceq_{R_1}(1,2)\).

Wenn "total" nur heißt, dass je zwei Elemente vergleichbar sein müssen,

dann ist dem so. Bei Wikipedia lese ich, dass Totalordnungen auch

antisymmetrisch sein müssen, das ist hier nicht der Fall wie

das obige Beispiel zeigt.

(ii)  Ordnung ist hier ähnlich zu beweisen wie oben.

strikt ist die auch nicht, da reflexiv , total aber nicht, da z.B.

weder \((3,2) \preceq_{R_1}(1,5)\) noch \((1,5) \preceq_{R_1}(3,2)\) gilt.

Comments

Vielen Dank!

---

Wie sieht es denn mit der reflexivität aus? Diese verstehe ich garnicht in diesem Kontext.

---

reflexiv heißt doch:

Jedes Element steht mit sich selbst in der Relation.

Hier also bei (i):   Für alle a, b muss gelten

\((a,b) \preceq_{R_1}(a,b)\).

Nach der Def. der Relation muss man dafür a≤a prüfen

und das ist immer erfüllt, also ist die Rel. reflexiv.