Sei f ∶ I → ℝ konvex auf dem Intervall I. Zeigen Sie:
Sind n ∈ ℕ ∖ {1} und λ1, . . . , λn ∈ (0, 1) mit λ1 + . . . + λn = 1 beliebig, so gilt f(λ1x1 + . . . + λnxn) ≤ λ1f(x1) + . . . + λnf(xn), x1, . . . , xn ∈ I.
Ist zusätzlich f ∈ C2(I) und x₀ ∈ I beliebig, so gilt f(x) ≥ (x₀) + (x − x₀) f′(x₀), x ∈ I, d.h. der Graph von f liegt oberhalb jeder Tangente an f . "Ich glaub hier sollte der Mittelwertsatz helfen"
Hi, mag mir jemand bei der Aufgabe helfen? Hab etwas viel mit Übungsblätter zu tun und da komm ich leider nicht weiter.
