Die Funktion ist laut Voraussetzung in \(C^2(I)\).
Möglicherweise darfst du dann folgendes Kriterium als bekannt voraussetzen:
\(f\) ist konvex auf \(I\) genau dann, wenn \(f''\geq 0\) auf \(I\).
Falls das so ist, kannst du mit Taylor ruckzuck argumentieren:
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+ \underbrace{\frac 12 f''(\xi)(x-x_0)^2}_{\geq 0}\geq f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$
Fertig.