Beweise ∀x,y,z: (x ⋅ z = y ⋅ z) ∧ (z > 0) ⇒ (x = y)

Question

Aufgabe:

Beweise die folgende Formel: ∀x,y,z: (x ⋅ z = y ⋅ z) ∧ (z > 0) ⇒ (x = y)

Problem/Ansatz:

Ich habe es zuerst mit einem Beweis via Widerspruch beweisen versucht, allerdings war das nicht gefragt..

Answer 1

Da nicht angegeben ist, welcher Menge \(x,y,z\) entstammen,

hier eine Variante, in der \(x,y,z\) einem angeordnetem Integritätsbereich entstammen:

\(xz=yz\Rightarrow 0=xz-yz=(x-y)z\)

Satz vom Nullprodukt (Integritätsbereich) liefert wegen \(z\neq 0\):

\(x-y=0\), also \(x=y\).

Answer 2

Dividiere auf beiden Seiten der Gleichung x ⋅ z = y ⋅ z durch z.

Comments

Es das nicht sehr banal?

Wenn der eine Faktor jeweils derselbe ist bei 2 Produkten, muss dasselbe auch für die zweiten Faktoren gelten, damit die Gleichung stimmt.

Was soll man das großartig beweisen, wenn es evident ist?

Nur aus Formalisierungsgründen?

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Habe nochmals nachgefragt, geht eher um die Beweis-Regeln, dass diese angewendet werden (Beispielsweise in Subbeweise zu unterteilen)

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Was bedeutet  Dividiere ?

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@roland müsste ich dann nicht auf der anderen Seite der Implikation auch durch z dividieren?

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Was soll man das großartig beweisen, wenn es evident ist?

Wenn Du die Lösung von Ermanus liest, siehst Du, dass der Schluss Voraussetzungen über die Objekte braucht. Beim Matrizenprodukt, wäre er z.B. im Allgemeinen falsch.

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Was ist   (z > 0)  denn Beim Matrizenprodukt ?

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Ja, meine Bemerkung betrifft nur das Grundproblem der Nullteiler-Frage und passt nicht zur Aufgabenstellung