Analytische Geometrie (Q2)

Question

Aufgabe:

Ich hätt eine Frage: Wenn es zwei Geraden gibt, wobei sagen wir mal a ist der Ortsvektor und a‘ dessen Richtung von der Geraden 1 ist & b ist Ortsvektor und b‘ Richtung von Gerade 2. Nehmen wir mal an: a + ta‘ = b + zb‘ (t und z sind Parameter) also das sie sich schneiden. Damit sie parallel sind, muss doch dann der eine Richtungsvektor der gleiche wie der andere Richtungsvektor sein oder nicht? Also muss ja ta‘ = zb‘ sein, wodurch ja auch nach Umformung: a = b wäre, was ja ein Widerspruch ist

Problem/Ansatz:

s.o.

Answer 1

>Damit sie parallel sind, muss doch dann der eine Richtungsvektor der gleiche wie der andere Richtungsvektor sein oder nicht?<

Nein, parallele Richtungsvektoren sind linear abhängig a' = λ b' - haben die gleiche Richtung können jedoch unterschiedlich lang sein - insbesondere gleich lang, wenn a'=b'....

Answer 2

Damit sie parallel sind, muss doch dann der eine Richtungsvektor der gleiche wie der andere Richtungsvektor sein oder nicht?

Gleich sein müssen sie nicht, aber linear abhängig. Dann kann auch der eine ein Vielfaches des anderen sein. Und beide dürfen keine Nullvektoren sein.

ta‘ = zb‘

Das gilt dann nur für bestimmte Werte von t und z und nicht allgemein.

Und daraus folgt auch nicht das a = b ist.

Beispiel

g: X = [0, 0] + r*[1, 2]
h: X = [1, 1] + s*[2, 4]

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig und der Ortsvektor von h liegt nicht auf der Geraden g. Daher sind die Geraden parallel.

Comments

Mit der Gleichheit meinte ich eher, das die Vektorgleichung ta‘ = zb‘, einfach bei der Lösung eine wahre Aussage sein muss. Damit man ja dann sagen kann, das der eine Vektor kollinear zum anderen ist.

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Ok. Dann war das nur missverständlich formuliert. Trotzdem folgt daraus ja noch nicht a = b, wie du meinem Beispiel entnehmen kannst.

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Alles klar, ich danke Ihnen! :)

Einen angenehmen Tag noch,

Gruss, Txman