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Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension \( n \geq 2 \) auf den \( \mathrm{n} \)-dimensionalen Raum \( \mathbb{R}^{n} \) verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im \( \mathbb{R}^{n} \) kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von \( n-1 \) Faktoren.
Das Kreuzprodukt \( \vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1} \) der Vektoren \( \vec{a}_{1}, \ldots, \vec{a}_{n-1} \in \mathbb{R}^{n} \) ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor \( \vec{v} \in \mathbb{R}^{n} \) gilt
\( \vec{v} \cdot\left(\vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1}\right)=\operatorname{det}\left(\vec{v}, \vec{a}_{1}, \ldots, \vec{a}_{n-1}\right) . \)
In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im \( \mathbb{R}^{n} \) wie folgt berechnen. Es sei \( \vec{e}_{i} \) der zugehörige \( i \)-te kanonische Einheitsvektor. Für \( n-1 \) Vektoren
\( \vec{a}_{1}=\left(\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n 1} \end{array}\right), \vec{a}_{2}=\left(\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n 2} \end{array}\right), \ldots, \vec{a}_{n-1}=\left(\begin{array}{c} a_{1(n-1)} \\ a_{2(n-1)} \\ \vdots \\ a_{n(n-1)} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n} \)
gilt
\( \vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} \vec{e}_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\ \vec{e}_{2} & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec{e}_{n} & a_{n 1} & \ldots & a_{n(n-1)} \end{array}\right), \)
analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante.
Ich probiere diese allgemeine Defintion für n=2 und die Vektoren \(\vec{v} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix},\vec{w}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\) aufzuschreiben:
\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} \vec{e}_{1} & x\\ \vec{e}_{2} & y \end{array}\right) \)
Das ist offensichtlich falsch, auch mit der folgenden Notation komme ich nicht zu einer sinnvollen Darstellung:
\( \vec{v} \cdot\left(\vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1}\right)=\operatorname{det}\left(\vec{v}, \vec{a}_{1}, \ldots, \vec{a}_{n-1}\right) . \).
Ich verstehe irgendnwie nicht, wie ich die Definition nutzen kann, um das Kreuzprodukt im zweidimensionalen Raum zu berechnen.
Kann mir jemand erklären, wie ich mit der Defintion die Formel für das Kreuzprodukt im zweidimensionalen Raum bestimmen kann?
