Aus Definition für n Dimensionen die Formel für das Kreuzprodukt im zweidimensionalen Raum bestimmen

Question

Text erkannt:

Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension \( n \geq 2 \) auf den \( \mathrm{n} \)-dimensionalen Raum \( \mathbb{R}^{n} \) verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im \( \mathbb{R}^{n} \) kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von \( n-1 \) Faktoren.

Das Kreuzprodukt \( \vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1} \) der Vektoren \( \vec{a}_{1}, \ldots, \vec{a}_{n-1} \in \mathbb{R}^{n} \) ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor \( \vec{v} \in \mathbb{R}^{n} \) gilt
\( \vec{v} \cdot\left(\vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1}\right)=\operatorname{det}\left(\vec{v}, \vec{a}_{1}, \ldots, \vec{a}_{n-1}\right) . \)

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im \( \mathbb{R}^{n} \) wie folgt berechnen. Es sei \( \vec{e}_{i} \) der zugehörige \( i \)-te kanonische Einheitsvektor. Für \( n-1 \) Vektoren
\( \vec{a}_{1}=\left(\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n 1} \end{array}\right), \vec{a}_{2}=\left(\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n 2} \end{array}\right), \ldots, \vec{a}_{n-1}=\left(\begin{array}{c} a_{1(n-1)} \\ a_{2(n-1)} \\ \vdots \\ a_{n(n-1)} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n} \)
gilt
\( \vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} \vec{e}_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\ \vec{e}_{2} & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec{e}_{n} & a_{n 1} & \ldots & a_{n(n-1)} \end{array}\right), \)
analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante.

Ich probiere diese allgemeine Defintion für n=2 und die Vektoren \(\vec{v} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix},\vec{w}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\) aufzuschreiben:

 \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} \vec{e}_{1} & x\\  \vec{e}_{2} & y \end{array}\right) \)

Das ist offensichtlich falsch, auch mit der folgenden Notation komme ich nicht zu einer sinnvollen Darstellung:

\( \vec{v} \cdot\left(\vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \times \cdots \times \vec{a}_{n-1}\right)=\operatorname{det}\left(\vec{v}, \vec{a}_{1}, \ldots, \vec{a}_{n-1}\right) . \).

Ich verstehe irgendnwie nicht, wie ich die Definition nutzen kann, um das Kreuzprodukt im zweidimensionalen Raum zu berechnen.

Kann mir jemand erklären, wie ich mit der Defintion die Formel für das Kreuzprodukt im zweidimensionalen Raum bestimmen kann?

Answer 1

In deinem Beispiel ist der Vektor \( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \) fehl am Platze.

Im \( \mathbb{R}^{n} \) verwendet man nur \( n-1 \) Vektoren.

Damit dürftest du im Im \( \mathbb{R}^{2} \) nur einen Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) verwenden.

Comments

Konsequenterweise wäre dann in \(\mathbb{R}^2\)$$ \left(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \times \underbrace{\dots}_{\text{nix}} \right) = \det\begin{pmatrix} \vec{e}_1& x\\ \vec{e}_2& y \end{pmatrix} = y\vec{e}_1-x\vec{e}_2 = \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$$ ich hatte so etwas in der Vergangenheit immer als die Funktion \(\operatorname{ortho}\) bezeichnet.

Wie ist denn dann die korrekte Schreibweise dafür? Vielleicht nur:$$\times \vec{x}$$das ist in sofern ganz praktisch als sich damit die Gleichung für eine Gerade \(g\) durch zwei Punkte \(P,Q \in \mathbb{R}^2\) sofort hinschreiben lässt:$$g:\quad\left< \vec{x},\, \times\!(P-Q)\right> = \det\begin{pmatrix}P&Q\end{pmatrix}$$

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Cool                             .

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Danke euch beiden! Bedeutet das, dass das Kreuzprodukt im \(\mathbb{R}^3\) für drei Vektoren \(a,b,c\in \mathbb{R}^3\) gar nicht definiert ist?

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@Humboldt1769
Lies doch bitte mal den zweiten Satz deines Textausschnittes und setze dort \(n=3\).