Finde ein p ∈ Q[x], für das gilt...

Question

Wie schaffe ich es mit der folgende Gleichung cos(3α) = 4 cos(α)³ − 3 cos(α) ein Polynom p ∈ Q[x] zu finden, für das p(cos(\( \frac{π}{9} \))) = 0 und p irreduzibel ist. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Du hast \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\) für alle \(\alpha\in\R\).
Wähle \(\alpha={\large\tfrac\pi9}\) und erhalte \(\cos{\large\tfrac\pi3}=4\cos^3{\large\tfrac\pi9}-3\cos{\large\tfrac\pi9}\).
Nun setze \(x=\cos{\large\tfrac\pi9}\) und erhalte \({\large\tfrac12}=4x^3-3x\).

Wähle also \(\boxed{p(x)=x^3-{\large\tfrac34}x-{\large\tfrac18}}\).