Aloha :)
Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion \(\phi(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:
$$\small\operatorname{grad}_i\phi(r)=\frac{\partial \phi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial\phi}{\partial r}\,\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=\frac{\partial\phi}{\partial r}\,\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial\phi}{\partial r}\,\frac{x_i }{r}$$
Da \(\phi(r)\) nur von \(r\) abhängt, schreiben wir \(\phi'(r)\) anstatt \(\frac{\partial\phi}{\partial r}\) und erhalten als Gradient:$$\operatorname{grad}\phi(r)=\phi'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=\phi'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\phi'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r\implies$$$$\boxed{\operatorname{grad}\phi(r)=\phi'(r)\cdot\vec r^0}$$mit dem Einheitsvektor \(\vec r^0=\frac{\vec r}{r}\).
Damit erhältst du das Potential \(\phi(r)\) des Vektorfeldes \(\vec F(\vec r)\) wie folgt:
$$\vec F=-\pink{\operatorname{grad}\phi(r)}\stackrel!=\left(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^3}+\frac{c}{r^{11}}\right)\vec r=-\pink{\underbrace{\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}-\frac{c}{r^{10}}\right)}_{=\phi\,'(r)}\,\vec r^0}$$
Das Potential erhältst du nun einfach durch Integration der pinken Klammer nach \(r\):$$\phi(r)=\frac{c}{9r^9}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}$$
Das ist fast dein Ergebnis. Du hast unterwegs nur ein \(r\) im Nenner verloren.
