Normalverteilung, Erwartungswert und Varianz

Question

Aufgabe:

Wenn die Zufallsvariable X normalverteilt ist mit Erwartungswert( X)=5  und Varianz(X)=65 , dann ist Z=X−8/ √41 normalverteilt mit

E(Z)=

V(Z)=

Es geht hier um die Normalverteilung. Ich verstehe leider die Aufgabe nicht...

Vielen Dank

Problem/Ansatz:

Comments

Meinst du evtl. \( Z = \frac{X − 8}{\sqrt{41}} \)? Dann solltest du den Zähler klammern. Ansonsten wäre es verkehrt.

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ja genau das meinte ich damit

Answer 1

Aloha :)

Der Erwartungswert ist linear, das heißt für eine Zufallsvaribale \(X\) gilt;$$\pink{E(a\cdot X+b)=a\cdot E(X)+b}\quad\text{wobei}\quad a,b=\text{const}$$

Das bedeutet in diesem Fall:$$E(Z)=E\left(\frac{X-8}{\sqrt{41}}\right)=E\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\cdot X-\frac{8}{\sqrt{41}}\right)=\frac{1}{\sqrt{41}}\cdot \underbrace{E(X)}_{=5}-\frac{8}{\sqrt{41}}=-\frac{3}{\sqrt{41}}$$

Für die Varianz einer Zufallsvariablen \(X\) gilt:$$\pink{V(a\cdot X+b)=a^2\cdot V(X)}\quad\text{wobei}\quad a,b=\text{const}$$Dass die Konstante \(b\) wegfällt ist klar, denn da variiert ja nichts. Beachte aber bitte, dass der Faktor \(a\) quadriert werden muss, wenn du ihn aus der Varianz ziehst.

Das bedeutet in diesem Fall:$$V(Z)=V\left(\frac{X-8}{\sqrt{41}}\right)=V\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\cdot X-\frac{8}{\sqrt{41}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)^2\cdot \underbrace{V(X)}_{=65}=\frac{65}{41}$$