Welcher Schätzer dominiert?

Question

Aufgabe:

Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen X enthält n=9 unabhängige und normalverteilte Beobachtungen: X₁,…,X₉

Sie suchen einen Schätzer für E[X]. Sind die Aussagen wahr oder falsch?

A) Der Schätzer −2X₁−2X₅−2X₆+X₇ dominiert X₉

B) Der Schätzer X₇ dominiert 13X₁+13X₄+13X₇

Ansatz:

Ich weiß, dass ein Schätzer dominiert wenn seine Varianz geringer ist. Mein Problem ist, dass ich wenn ich die Varianz ausrechne für X₉ bei A und X₇ bei B keine Lösung bekomme. Weil es handelt sich ja um Stichprobenvarianz und dann würde man ja wenn man alles einsetzt 1/1-1= Fehler rausbekommen. Wo liegt da mein Denkfehler oder gibt es da irgendwelche Ausnahmen die ich nicht beachtet habe. Vielen Dank!

Comments

Ich hab mal meinen Kommentar in eine Antwort verwandelt.

Answer 1

      Ich weiß, dass ein Schätzer dominiert wenn seine Varianz geringer ist.

Der Begriff des "dominierenden" Schätzers ist nicht sehr geläufig. Deine obige "Definition" würde bedeuten, dass ein Schätzer S den Schätzer T dominiert, wenn

\(Var(S) < Var(T) \),

also, wenn S effizienter ist als T.

Weiterhin macht es nicht viel Sinn, Schätzer verschiedener Parameter zu vergleichen.

Sowohl −2X1−2X5−2X6+X7 als auch 13X1+13X4+13X7 sind keine Schätzer für E[X], da die Erwartungswerte dieser Schätzer verschieden von E[X] sind.

Wenn die Aufgabe tatsächlich so gestellt wurde, ist sie nicht sinnvoll gestellt.

Das einzige, was man nun machen könnte, ist, die Varianz der Schätzer zu berechnen und stumpfsinnig zu vergleichen (obwohl sie verschiedene Größen schätzen.)

Zu deinem Problem:
Hier geht es um die Varianz des Schätzers, also zum Beispiel

$$V(−2X_1−2X_5−2X_6+X_7)= 4V(X) + 4V(X)+4V(X)+V(X) = 13 V(X)> V(X)= V(X_9)$$

Damit wäre Aussage A) falsch (im Kontext dieser nicht wohlgestellten Aufgabe).

Analog kann man in B) vorgehen.