Beweisen Sie diese Aussagen

Question

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Beweisen Sie Satz 1.22 aus der Vorlesung: Seien \( A, B \subset \mathbb{R} \) nichtleer und nach oben beschränkt. Dann gilt
i) \( \sup (A+B)=(\sup A)+(\sup B) \),
ii) \( \sup (r A)=r \sup A \), falls \( r \geq 0 \),
iii) falls \( A, B \subseteq \mathbb{R}_{\geq 0} \) : \( \sup (A \cdot B)=(\sup A) \cdot(\sup B) \),
iv) \( \inf (-A)=-\sup A \).

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Beweisen
: Seien \( A, B \subset \mathbb{R} \) nichtleer und nach oben beschränkt. Dann gilt
i) \( \sup (A+B)=(\sup A)+(\sup B) \),
ii) \( \sup (r A)=r \sup A \), falls \( r \geq 0 \),
iii) falls \( A, B \subseteq \mathbb{R}_{\geq 0} \) : \( \sup (A \cdot B)=(\sup A) \cdot(\sup B) \),
iv) \( \inf (-A)=-\sup A \).

Aufgabe:

Answer 1

i) Sei \(r = \sup(A+B)\) und \(s=\sup(A) + \sup(B)\).

Angenommen \(r < s\).

Sei \(\varepsilon = s-r\).

Seien \(a\in A\), \(b\in B\) mit \(\sup(A)-a < \frac{\varepsilon}{2}\) und \(\sup(B)-b < \frac{\varepsilon}{2}\). Dann ist \(a+b\in A+B\) mit

        \(\begin{aligned}&a+b\\>\ & \sup(A) - \frac{\varepsilon}{2} + \sup(B) - \frac{\varepsilon}{2}\\=\ & s - \varepsilon\\=\ & r\end{aligned}\).

Also ist \(r\) keine obere Schranke von \(A+B\). Das ist ein Widerspruch zu \(r = \sup(A+B)\). Also ist \(r \nless s\).

Angenommen \(r > s\).

Sei \(\varepsilon = r-s\).

Sei \(x\in A+B\) mit \(\sup(A+B)-x < \varepsilon\).

Seien \(a\in A\), \(b\in B\) mit \(a+b = x\).

Begründe dass \(a > \sup(A)\) oder \(b > \sup(B)\) ist.

ii) bis iv) können auf gleiche Art bewiesen werden.