Beweisen von Aussagen / Mengen

Question

In der Aufgabe steht:

Es sei X eine feste Menge und A, B seien Teilmengen von X.
Die symmetrische Differenz zweier Teilmengen von X sei  A ☺ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Beweisen sie folgende Aussage für A, B ⊂ X

A ☺ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Wie kann man hier anfangen, oder was ist da zu tun?

Answer 1

Also, es soll folgendes gezeigt werden:

$$ (A\cup B) \setminus (A \cap B) = (A\setminus B) \cup (B\setminus A) $$

Ich mach mal die erste Inklusion ( \((A\cup B) \setminus (A \cap B) \subset (A\setminus B) \cup (B\setminus A)\) ).

Sei \( x\in (A\cup B) \setminus (A \cap B) \) beliebig. Dann gilt \(x\in A \cup B\) und \( x\notin A\cap B\), also liegt \(x\) in \(A\) oder \(B\), aber nicht im Schnitt. Betrachte zwei Fälle.

1. Wenn \(x\in A\) ist, so muss \(x\notin B\) gelten, denn sonst wäre es im Schnitt. Folglich ist \(x\in A\setminus B\).

2. Wenn \(x\in B\) ist, so muss \(x\notin A\) gelten, denn sonst wäre es im Schnitt. Folglich ist \(x\in B\setminus A\).

Also ist insgesamt \(x\in A\setminus B\) oder \(x\in B\setminus A\), somit ist \(x\in (A\setminus B) \cup (B\setminus A)\).

Die zweite Inklusion überlasse ich dir

Answer 2

Du sollst beweisen dass

(A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Das könntest du sehr einfach über die zugehörigen Venn-Diagramme machen.

Comments

Das dürfen wir leider nicht.

Wir müssen es schriftlich Beweisen, also erst "Aussage A ⇒ Aussage B" und dann nochmal "Aussage B ⇒ Aussage A"

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Diese Kartoffel-Diagramme sind in der Tat hilfreich, um sich bestimmte Sachverhalte zu gegenwärtigen und sich vom Wahrheitsgehalt einer Aussage zu überzeugen, aber als mathematischer Beweis sind sie ungeeignet.