Wie kann man diese Aussagen beweisen?

Question

Aufgabe: Ich komme mit diesen drei Teilaufgaben garnicht klar, kann mir jemand bittee zeigen, wie man das beweisen kann?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Es sei \( I \) eine beliebige Indexmenge und \( A_{i} \) eine gegebene Menge für jedes \( i \in I \). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1. Für jedes \( j \in I \) gilt:
\( \bigcap_{i \in I} A_{i} \subset A_{j} \subset \bigcup_{i \in I} A_{i} . \)
2. Es gilt:
\( \left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c} . \)
3. Es gilt:
\( \left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A_{i}^{c} . \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Diese Aussagen müssen bewiesen werden.

Stichworte: abbildung

Aufgabe: Kann mit bitteee jemand bei diesen zwei Aufgaben weiterhelfen, bekomme die gar nicht hin, die 1. hab ich hinbekommen.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Es sei \( I \) eine beliebige Indexmenge und \( A_{i} \) eine gegebene Menge für jedes \( i \in I \). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1. Für jedes \( j \in I \) gilt:
\( \bigcap_{i \in I} A_{i} \subset A_{j} \subset \bigcup_{i \in I} A_{i} . \)
2. Es gilt:
\( \left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c} . \)
3. Es gilt:
\( \left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A_{i}^{c} . \)

Answer 1

\( \bigcap_{i \in I} A_{i} \subset A_{j} \subset \bigcup_{i \in I} A_{i} . \)

Bew.: Sei \( x \in \bigcap_{i \in I} A_{i} \)  und  \( j \in I \).

==>  \( \forall  i \in I    x \in A_{i} \).

wegen \( j \in I \)    also    \(  x \in A_{j} \).

==>  \( \exists i \in I    x \in  A_{i}  \)

==>  \(  x \in \bigcup_{i \in I} A_{i}  \). q.e.d.

Answer 2

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/1044473/wie-kann-man-diese-aussagen-beweisen

und z.B. für den 2. Teil:

\( \left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c} . \)

Sei \( x \in \left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}\)

<=>   \( x \notin \bigcap_{i \in I} A_{i} \)

<=>  \( \exists i \in I   x \notin A_{i} \)

<=>  \( \exists i \in I   x \in A_{i}^c \)

<=> \( x \in \bigcup_{i \in I} A_{i}^{c} . \)   q.e.d.