Bestimmen sie alle Vektoren v mit folgenden Eigenschaften:

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie alle Vektoren v mit folgenden Eigenschaften:

v muss orthogonal zum Vektor \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1\end{pmatrix} \) sein

v muss orthogonal zum Vektor \( \begin{pmatrix} 5\\2\\-3\end{pmatrix} \) sein

v hat eine Länge von 2\( \sqrt{14} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe drei Gleichungen aufgestellt:

1. -x-y+z=0

2. 5x+2y-3z=0

3. \( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \) =2\( \sqrt{14} \)

Allerdings habe ich jetzt Schwierigkeiten das GS aufzuflösen, da die eine Gleichung nicht linear ist.

Answer 1

Löse 1 & 2 nach x und y in Abhängigkeit von z oder Bilde das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren

-x - y + z = 0
5·x + 2·y - 3·z = 0 --> x = 1/3·z ∧ y = 2/3·z

Setzte das in die quadrierte dritte Gleichung ein und löse diese nach z auf

x^2 + y^2 + z^2 = 56

(1/3·z)^2 + (2/3·z)^2 + z^2 = 56 --> z = ± 6

Damit kannst du jetzt auch x und y berechnen.

Ich komme dann auf die Vektoren [-2, -4, -6] und [2, 4, 6].

Comments

Achso. Super, danke.