Bestimmte v für alle Vektoren die senkrecht zu n sind

Question

Ich komme zurzeit bei meiner Aufgabe 2b nicht ganz weiter. Zum Vektor n gibt es unendlich viele orthogonale Vektoren. Wie soll ich dann Mv bestimmen?

Bei c) bin ich mir auch nicht sicher wie ich die geometrische Bewegung herausfinde. In meinen Vorlesungsunterlagen habe ich leider auch nichts dazu gefunden

Vielen Dank im Voraus

Text erkannt:

Aufgabe 2: Seien
\( \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 1 / 2 \\ -1 / 2 \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad M=I-2 \vec{n} \vec{n}^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1 / 2 & 1 / 2 & -1 / \sqrt{2} \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0 \end{array}\right) . \)
(a) Berechnen Sie \( M \vec{n} \).
(b) Bestimmen Sie \( M \vec{v} \) für alle Vektoren \( \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} \), die senkrecht zu \( \vec{n} \) sind.
(c) Welche geometrische Bewegung des Raums \( \mathbb{R}^{3} \) beschreibt die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \) \( \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto M \vec{x} \) ?
(d) Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix \( M \) und die zugehörigen Eigenräume.

Text erkannt:

2)
\( M \vec{n}=\left(\begin{array}{ccc} 1 / 2 & 1 / 2 & -1 / \sqrt{2} \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 / 2 \\ -1 / 2 \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 / 2 \\ 1 / 2 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right) \)
b)
\( \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1 / 2 \\ -1 / 2 \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=1 / 2 x-1 / 2 y+1 / \sqrt{2} z=0 \)
\( \rightarrow \) unendlich viele Losungen
c) \( \vec{x} \rightarrow M \vec{x} \quad \) definiert eine lineare Matrix
Bevegung:
d)
\( \left(\begin{array}{ccc} 1 / 2-\lambda & 1 / 2 & -1 / \sqrt{2} \\ 1 / 2 & 1 / 2-\lambda & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0-\lambda \end{array}\right) \)

Charakterisisches Polynom
\( \begin{array}{l} \lambda_{0}=-1 \\ E_{M}(1)=\left\{t\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), t \in \mathbb{R}\right\} \\ \frac{-x-1}{x-1} \\ E_{M}(-1)=\left\{t\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} \\ 1 \end{array}\right), t \in \mathbb{R}\right\} \\ \operatorname{EM}(1)=\left\{t\left(\begin{array}{c} -\sqrt{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), t \in \mathbb{R}\right\} \\ \end{array} \)

Answer 1

Ich lasse der Einfachheit halber die Vektorpfeile weg.

Beachte zunächst, dass \(|n|=1\).

Damit stellt

\(nn^Tv = (n^Tv)n\)

die orthogonale Projektion eines Vektors \(v\) auf die durch \(n\) aufgespannte Gerade dar.

(a) ergibt, dass \(Mn = -n\) gilt. Damit ist die von \(n\) aufgespannte Gerade ein 1-dimensionaler Eigenunterraum zum Eigenwert \(-1\).

(b) Wenn \(v\perp n \Leftrightarrow n^Tv = 0\), erhältst du

\(Mv = v-2nn^Tv = v\).

Damit ist die zu \(n\) orthogonale Ebene \(E:\, n^T v = 0\) ein 2-dimensionaler Eigenunterraum zum Eigenwert \(1\).

(c) Was macht nun M geometrisch?

Es nimmt die Komponente eines Vektors \(v\) in \(n\)-Richtung - also orthogonal zur Ebene \(E\) - und dreht diese um. Den zur Ebene \(E\) gehörigen Anteil lässt M gleich.

Das ist eine Spiegelung an der Ebene \(E\).

(d) haben wir oben schon miterledigt.

Answer 2

Ich komme zurzeit bei meiner Aufgabe 2b nicht ganz weiter. Zum Vektor n gibt es unendlich viele orthogonale Vektoren. Wie soll ich dann Mv bestimmen?

Du hättest ja mal 3 von unendlich vielen Vektoren nehmen können. Also z.B.

[1/2, 1/2, 0] ; [1/√2, 0, 1/2] ; [0, 1/√2, 1/2]

Dann hättest du schon etwas festgestellt. Weiterhin könntest du jetzt überlegen, warum das auch für alle Linearkombinationen dieser 3 Vektoren gilt und damit für alle Vektoren des R³.