Maximum innerhalb eines angeordneten Körpers zeigen

Question

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Übung 1
Zeigen Sie Folgendes:
a) Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Für $x, y \in K$ definieren wir
$\max \{x, y\}:=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text { falls } x \geq y, \\ y, & \text { falls } x<y ; \end{array} \quad \min \{x, y\}:=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text { falls } x \leq y, \\ y, & \text { falls } x>y \end{array}\right.\right.$

Dann gilt
$\max \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|), \quad \min \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|), \quad \max \{x,-x\}=|x| .$
b) Sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Für $a \in K$ definieren wir
$N(a):=\left\{n \in \mathbb{Z}: a<n 1_{K}\right\} .$

Zeigen Sie, dass $N(a)$ nicht-leer ist und ein kleinstes Element besitzt, d. h., dass es ein $\tilde{n} \in N(a)$ gibt, sodass für alle $n \in N(a)$ die Ungleichung $\tilde{n} \leq n$ gilt.

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Die folgende Aufgabe wurde uns zur Übung gegeben, und mein Ansatz bezüglich a wäre eine Fallunterscheidung, in welcher ich dann verschiedene Fälle für x und y nehme und versuche die gegebene Aussage zu zeigen. Jedoch erscheint mir meine Argumentation sehr schwammig und ich wollte in die Runde fragen wie man sich da in Wirklichkeit vorzuarbeiten hat.

Wie immer freu ich mich über Vorschläge und Antworten!

Answer 1

Fallunterscheidung, in welcher ich dann verschiedene Fälle für x und y nehme

Gute Idee.

Fall 1. $x \geq y$. Dann ist $x - y \geq 0$ und somit $|x-y| = x-y$. Setze in

        $\frac{1}{2}(x+y-|x-y|)$

ein und begründe dass sich der Ausdruck zu $x$ vereinfachen lässt.

Fall 2. $x < y$. Dann ist $x - y < 0$ und somit $|x-y| = -(x-y)$. Setze in

    $\frac{1}{2}(x+y-|x-y|)$

ein und begründe dass sich der Ausdruck zu $y$ vereinfachen lässt.

Comments

Danke erstmal dafür, dann war ich ja gar nicht so weit weg von der Antwort. Wie sollte ich den in b vorgehen und zeigen, dass die Menge nicht leer ist ? Hier habe ich im Gegensatz zu a leider keinen Ansatz..