Extremstelle von f finden: a) f(x) =1/4 x^3-3/ 2x^2+3x, b) f(x)=1/8 x^4+1/2 x^3-x^2-3

Question

Wo liegen hier die Extremstellen von f ?                                  
a)  f(x) =1/4x^3-3/2x^2+3x                                      
b) f(x)=1/8x^4+1/2x^3-x^2-3

Answer 1

Dazu musst du die erste Ableitung bilden und Null setzen 

a)  f(x) =1/4x³-3/2x²+3x                                       

f ' (x) = 3/4 x^2 - 3x + 3 = 0    |quadratische Gleichung. Kannst du bestimmt selbst auflösen.

--> x1 = x2=2

x = 2 ist doppelte Nullstelle dieser Ableitung. Daher hat die Ableitung in x=2 keinen Vorzeichenwechsel. Man hat keine Extremstelle sondern einen Terrassenpunkt an der Stelle x= 2.

 

b) f(x)=1/8x⁴+1/2x³-x²-3

f ' (x) = 1/2 x^3 + 3/2 x^2 - 2x = 0      |faktorisieren

1/2 x ( x^2 + 3x - 4) = 0

1. Nullstelle: x = 0

2. und 3. Nullstelle aus dem 2. Faktor:

x^2 + 3x -4 = 0          |ebenfalls quadratische Gleichung.

                                       |Du nimmst die Formel oder faktorisierst nach Vieta direkt zu

(x-1)(x+4)= 0

2. Nullstelle: x=1

3. Nullstelle: x = -4

Da alle Nullstellen einfach sind, kommt es an allen 3 Stellen zu einem Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung. Daher sind alle 3 Stellen Extremalstellen.

Answer 2

a) es gibt keine extremstellen

b) -4 , 0 und -1

Answer 3

zu a) 

f ( x ) = ( 1 / 4 ) x ³ - ( 3 / 2 ) x ² + 3 x

 f ' ( x ) = ( 3 / 4 ) x ² - 3 x + 3 = 0

<=> x ² - 4 x + 4 = 0

<=> ( x - 2 ) ² = 0

<=> x - 2 = 0

<=> x = 2

f ( x ) hat also höchstens bei x = 2 eine Extremstelle.

Prüfung auf die Art des Extremums mit Hilfe der zweiten Ableitung:

f ' ' ( x ) = ( 3 / 2 ) x - 3

f ' ' ( 2 ) = 0

Die zweite Ableitung hat an der Stelle x = 2 den Wert Null, sagt also nicht über die Art des Extremums aus. Daher muss man mit Hilfe der dritten Ableitung

f ' ' ' ( x ) = ( 3 / 2 )

weiter prüfen. Diese hat an jeder Stelle einen positiven Funktionswert, also hat f ( x ) an der Stelle x = 2 keine Extremstelle sondern einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Einen solchen Punkt nennt man auch Sattelpunkt. Da f ' ' ' ( x ) gRößer als Null ist, beschreibt f ( x ) im Wendepunkt eine Rechts-links-Kurve.
(Wäre f ' ' ' ( x ) kLeiner als Null, dann würde f ( x ) im Wendepunkt eine Links-rechts Kurve beschreiben.)

Hier der Graph von f ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F4%29x^3-%283%2F2%29x^2%2B3x+

 

zu b)

f ( x ) = ( 1 / 8 ) x ⁴ + ( 1 / 2 ) x ³ - x ² - 3

f ' ( x ) = ( 1 / 2 ) x ³ + ( 3 / 2 ) x ² - 2 x = 0

x ausklammern:

<=> x * ( ( 1 / 2 ) x ² + ( 3 / 2 ) x - 2 ) = 0

<=> x = 0 oder ( 1 / 2 ) x ² + ( 3 / 2 ) x - 2

<=> x = 0 oder x ² + 3 x - 4 = 0

Lösen mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung:

<=> x = 0 oder x = - 4 oder x = 1

Höchstens an diesen Stellen kann f ( x ) Extremstellen haben.

 

Prüfung auf die Art des Extremums mit Hilfe der zweiten Ableitung:

f ' ' ( x ) = ( 3 / 2 ) x ² + 3 x - 2

f ' ' ( - 4 ) = 10 > 0 => Minimum

f ' ' ( 0 ) = - 2 < 0 => Maximum

f ' ' ( 1 ) = 5 / 2 > 0 => Minimum

Hier der Graph von f ( x ) :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F8%29x^4%2B%281%2F2%29x^3-x^2-3+from-4.5to2