Warum genau die höchste Potenz von x des Nenners?

Question

im Mathebuch der 11.Klasse steht beim Thema: Gebrochen-rationale Funktionen: Verhalten im Unendlichen, dass man bei der Grenzwertbetrachtung immer die höchste Potenz von x des Nenners sowohl im Nenner als auch Zähler ausklammern soll.

Warum genau die höchste Potenz von x des Nenners? Würde es auch mit der des Zählers gehen?

LG Lalelu

Answer 1

Wenn man die höchste Potenz des Zählers ausklammert, gehen im Nenner alle Summanden gegen Null (wenn x gegen Unendlich geht). Durch Null darf man aber nicht teilen.

Comments

Aber es wäre ja nicht genau Null sondern bisschen mehr/weniger oder?

Answer 2

Deine Lehrbuchregel ist umständlich. Hier ganz kurz und einfach:

Höchste Potenz von Zähler und Nenner ausklammern und dann genau hingucken:

$$\frac{ax^n + \text{niedrigere Potenzen}}{bx^m +\text{niedrigere Potenzen} }\stackrel{x\neq 0}{=} \frac{x^n}{x^m}\cdot \underbrace{\frac{a + ...}{b+ ...}}_{\stackrel{x\to\pm\infty}{\longrightarrow}\frac ab}$$

Somit entscheiden der Quotient $\frac{x^n}{x^m}$ (den man so weit wie möglich kürzt) und die Konstante $\frac ab$, wohin die Reise geht für $x\to \pm \infty$.