Deine Lehrbuchregel ist umständlich. Hier ganz kurz und einfach:
Höchste Potenz von Zähler und Nenner ausklammern und dann genau hingucken:
$$\frac{ax^n + \text{niedrigere Potenzen}}{bx^m +\text{niedrigere Potenzen} }\stackrel{x\neq 0}{=} \frac{x^n}{x^m}\cdot \underbrace{\frac{a + ...}{b+ ...}}_{\stackrel{x\to\pm\infty}{\longrightarrow}\frac ab}$$
Somit entscheiden der Quotient \(\frac{x^n}{x^m}\) (den man so weit wie möglich kürzt) und die Konstante \(\frac ab\), wohin die Reise geht für \(x\to \pm \infty\).