Begründe Sie: B={ (2,2,3),(1,1,1),(2,1,1)} ist eine geordnete Basis des R3.

Question

Aufgabe:

Beispiel zu linearen Abbildungen:

Die Darstellungsmatrix von phi bezüglich der geordneten Standardbasis E_3 = (e1, e2, e3) lautet:

E3 M(phi)E 3 =   (4    0     2)         e R3

                         1     3    -2

                         1     2    -1

a) Begründe Sie: B={ (2,2,3),(1,1,1),(2,1,1)} ist eine geordnete Basis des R3.

b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix B M(phi) B und die Transformationsmatrix S.

Problem/Ansatz:

a habe ich schon gelöst. Es ist eine geordnete Basis, weil die 3 Vektoren linear unabhängig sind.

b) habe ich die Darstellungsmatrix berechnet:

B M(phi) B = (1   0   0)

                    0   2   0

                    0    0   3

Wie kann ich nun aber die Transformationsmatrix bestimmen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E_3\) enhält die Basisvektoren von \(B\) als Spaltenvektoren:$$S\coloneqq\mathbf{id}_{E_3}^B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\2 & 1 & 1\\3 & 1 &1\end{pmatrix}$$

Damit kannst du die Darstellungsmatrix$$M_{E_3}^{E_3}(\varphi)=\begin{pmatrix}4 & 0 & 2\\1 & 3 & -2\\1 & 2 & -1\end{pmatrix}$$die Vektoren bezüglich der Basis \(E_3\) erwartet und liefert, in die Abbildungmatrix umrechnen, die Vektoren bezüglich der Basis \(B\) erwartet und liefert:$$M_B^B(\varphi)=\mathbf{id}^{E_3}_B\cdot M_{E_3}^{E_3}(\varphi)\cdot\mathbf{id}^B_{E_3}=\left(\mathbf{id}_{E_3}^B\right)^{-1}\cdot M_{E_3}^{E_3}(\varphi)\cdot\mathbf{id}^B_{E_3}=S^{-1}\cdot M_{E_3}^{E_3}(\varphi)\cdot S$$

Wenn ich das ausrechne, komme ich allerdings auf eine andere Matrix als du raus hast:$$M_B^B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-12 & -2 & -4\\12 & 4 & 7\end{pmatrix}$$